chứng minh: \(nP_n+\left(n-1\right)P_{n-1}+\left(n-2\right)P_{n-2}+...+2P_2+1P_1+1=P_{n+1}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho \(P_n=-1.\left(-1\right)^2.\left(-1\right)^3.....\left(-1\right)^n\) .
Khi đó \(P_{2013}+P_{2014}=........\)
\(P_n=-1.\left(-1\right)^2.\left(-1\right)^3...\left(-1\right)^n\)
\(P_n=-1.1.\left(-1\right)...\left(-1\right)^n\)
Nếu n lẻ \(\Rightarrow\)\(P_n=-1.1.\left(-1\right)...-1=-1\)
Nếu n chẵn \(P_n=-1.1.\left(-1\right)...1=1\)
2013 là số lẻ \(\Rightarrow P_{2013}=-1\)
2014 là số chẵn \(\Rightarrow P_{2014}=1\)
vậy \(P_{2013}+P_{2014}=-1+1=0\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \(\left(3x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^n\) , (x\(\ne\)0) biết rằng n\(\in\)N*: \(2P_n-\left(4n+5\right)P_{n-2}=3A^{_nn-2}\)
Cái chỗ vế phải biểu thức nghĩa là gì thế bạn?
Đúng 0
Bình luận (0)
Chắc là thế này \(3A^{n-2}_n\)
\(gt\Leftrightarrow2.n!-\left(4n+5\right)\left(n-2\right)!=3.\dfrac{n!}{2!}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}n!=\left(4n+5\right)\left(n-2\right)!\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!=\left(4n+5\right)\left(n-2\right)!\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}n\left(n-1\right)=4n+5\Leftrightarrow n=10\)
\(\left(3x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^{10}=\left(3x^3-x^{-2}\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}3^{10-k}.x^{3\left(10-k\right)}.\left(-1\right)^k.x^{-2k}\)
\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}.\left(-1\right)^k.3^{10-k}.x^{30-5k}\)
=> so hang ko chua x: \(30-5k=0\Leftrightarrow k=6\)
\(\Rightarrow C^6_{10}.\left(-1\right)^6.3^{10-6}=17010\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Tìm biểu thức ngăn hơn cho biểu thức sau:
\(P_{_{ }n}=\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2n-1\right)^2}\right)\)
Biết rằng nó đúng với n>=1 và chúng chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Ta sẽ chứng minh với \(n\ge1\)thì \(P_n=\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2n-1\right)^2}\right)=\frac{-2n-1}{2n-1}\)
Với \(n=1\)mệnh đề đúng vì \(1-4=-3=\frac{-2.1-1}{2.1-1}\)
Giả sử mệnh đề đúng với \(n=k\)tức là \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k-1\right)^2}\right)=\frac{-2k-1}{2k-1}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với \(n=k+1\)tức là chứng minh \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k+1\right)^2}\right)=\frac{-\left(2k+3\right)}{2k+1}\)
Thật vậy \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k-1\right)^2}\right)\left(1-\frac{4}{\left(2k+1\right)^2}\right)=\frac{-2k-1}{2k-1}.\frac{\left(2k-1\right)\left(2k+3\right)}{\left(2k+1\right)^2}\)
\(=\frac{-\left(2k+1\right)}{2k-1}.\frac{\left(2k-1\right)\left(2k+3\right)}{\left(2k+1\right)^2}=\frac{-\left(2k+3\right)}{2k+1}.\)
Theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề đúng với mọi \(n\ge1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 2 đa thức : P_{left(xright)}1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^{2009}+x^{2010}
vàQ_{left(xright)}1-x+x^2-x^3+x^4-...-x^{2009}+x^{2010}.
Giá trị của biểu thức P_{left(dfrac{1}{2}right)}+Q_{left(dfrac{1}{2}right)} có dạng biểu diễn hữu tỉ là dfrac{a}{b}; a, b ∈ N; a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a ⋮ 5.
Ai giỏi Toán giải hộ mình nha ! Thanks nhìu !!!♥♥
Đọc tiếp
Cho 2 đa thức : \(P_{\left(x\right)}=1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^{2009}+x^{2010}\\ vàQ_{\left(x\right)}=1-x+x^2-x^3+x^4-...-x^{2009}+x^{2010}.\)
Giá trị của biểu thức \(P_{\left(\dfrac{1}{2}\right)}+Q_{\left(\dfrac{1}{2}\right)}\) có dạng biểu diễn hữu tỉ là \(\dfrac{a}{b}\); a, b ∈ N; a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a ⋮ 5.
Ai giỏi Toán giải hộ mình nha ! Thanks nhìu !!!♥♥
1. Cho 2 số thực a,b thỏa mãn left{{}begin{matrix}a^3-a^2+2a-70b^3+2b^2+3b-50end{matrix}right.. Tính a-b
2. Cho đa thức P_{left(xright)}x^4+ax^3+bx^2+cx+d. Biết P_{left(1right)}3;P_{left(2right)}6;P_{left(3right)}11.
Tính Q4P_{left(4right)}+P_{left(-1right)}
@Akai Haruma
@Nguyễn Việt Lâm
Đọc tiếp
1. Cho 2 số thực \(a,b\) thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a^3-a^2+2a-7=0\\b^3+2b^2+3b-5=0\end{matrix}\right.\). Tính \(a-b\)
2. Cho đa thức \(P_{\left(x\right)}=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\). Biết \(P_{\left(1\right)}=3;P_{\left(2\right)}=6;P_{\left(3\right)}=11\).
Tính \(Q=4P_{\left(4\right)}+P_{\left(-1\right)}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a^3-\left(a-1\right)^2=6\\\left(b+1\right)^3-b^2=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^3-\left(b+1\right)^3-\left[\left(a-1\right)^2-b^2\right]=0\)
Từ đoạn này trở đi chắc bạn đặt nhân tử chung được
Đặt \(R\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x^2+2\right)\)
\(\Rightarrow R\left(1\right)=Q\left(2\right)=Q\left(3\right)=0\)
\(\Rightarrow R\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-a\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-a\right)+x^2+2\)
Thay lần lượt \(x=4;x=-1\) vào \(P\left(x\right)\) và cộng lại
1. Tìm số nguyên n sao cho n^4+4là số nguyên tố2.a Đa thức P_{left(xright)}bậc 4 có hệ số cao nhất là 1. Biết P_{left(1right)}0;P_{left(3right)}0;P_{left(5right)}0..Tính Q_{left(xright)}P_{left(-2right)}+7P_{left(6right)}b. Tìm Min Afrac{3x^2-x+8}{x^2+3}3. CMR a+bc thì a^4+b^4+c^42a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^24. ChoDelta ABCvuông tại A, phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ sao cho Min AB;Nin AC;P,Qin BC.Gọi E và F là giao của BN và MQ; CM và NP. CMR: a, DE//BC b, DEDF; AEAF
Đọc tiếp
1. Tìm số nguyên n sao cho \(n^4+4\)là số nguyên tố
2.a Đa thức \(P_{\left(x\right)}\)bậc 4 có hệ số cao nhất là 1. Biết \(P_{\left(1\right)}=0;P_{\left(3\right)}=0;P_{\left(5\right)}=0.\).Tính \(Q_{\left(x\right)}=P_{\left(-2\right)}+7P_{\left(6\right)}\)
b. Tìm Min \(A=\frac{3x^2-x+8}{x^2+3}\)
3. CMR a+b=c thì \(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
4. Cho\(\Delta ABC\)vuông tại A, phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ sao cho \(M\in AB;N\in AC;P,Q\in BC\).Gọi E và F là giao của BN và MQ; CM và NP. CMR: a, \(DE//BC\) b, DE=DF; AE=AF
1, TH1: x = 1 => n4 + 4 = 5 là số nguyên tố
TH2: x >= 2 => n4 \(\equiv\)1 (mod 5)
=> n4 + 4 \(⋮\)5 (ko là số nguyên tố)
Đúng 0
Bình luận (0)
tìm P(x) thỏa mãn (x-1)\(P_{\left(x+1\right)}\)=(x+2)\(P_{\left(x\right)}\) với mọi x và P(10) = 100
Giải bất phương trình: \(\frac{P_{n+5}}{\left(n-k\right)!}\le60A^{k+2}_{n+3}\)
Cho \(P_oP_1.....P_{n-1}\) là đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh :
a) \(P_0P_1.P_0P_2.....P_0P_{n-1}=n\)
b) \(\sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{2\pi}{n}......\sin\frac{\left(2n-1\right)\pi}{n}=\frac{1}{2^{n-1}}\)
c) \(\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}.......\sin\frac{\left(2n-1\right)\pi}{2n}=\frac{1}{2^{n-2}}\)
a) Giả sử các đỉnh đa giác là các điểm biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị \(P_o=1\). Xét đa thức :
\(f=z^n-1=\left(z-1\right)\left(z-\omega\right)........\left(z-\omega^{n-1}\right),\omega=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\)
Rõ ràng :
\(n=f'\left(1\right)=\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)...\left(1-\omega^{n-1}\right)\)
Lấy Modun 2 vế ta được kết quả
b) Ta có :
\(1-\omega^k=1-\cos\frac{2k\pi}{n}-i\sin\frac{2k\pi}{n}=2\sin^2\frac{k\pi}{n}-2i\sin\frac{k\pi}{n}\cos\frac{k\pi}{n}\)
\(=2\sin\frac{k\pi}{n}\left(\sin\frac{k\pi}{n}-i\cos\frac{k\pi}{n}\right)\)
Do đó : \(\left|1-\omega^k\right|=2\sin\frac{k\pi}{n},k=1,2,....,n-1\)
Sử dụng a) ta có điều phải chứng minh
c) Xét đa giác đều \(Q_oQ_1.....Q_{2n-1}\) nội tiếp trong đường tròn, các đỉnh của nó là điểm biểu diễn hình học của \(\sqrt{n}\) của đơn vị.
Theo a) \(Q_oQ_1.Q_oQ_2....Q_oQ_{2n-1}=2n\)
Bây giờ xét đa giác đều \(Q_oQ_2....Q_{2n-1}\) ta có \(Q_oQ_2.Q_oQ_4..Q_oQ_{2n-2}=n\)
Do đó \(Q_oQ_1.Q_oQ_3..Q_oQ_{2n-1}=2\) Tính toán tương tự phần b) ta được
\(Q_oQ_{2k-1}=2\sin\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n},k=1,2....n\) và ta có điều phải chứng minh
Đúng 0
Bình luận (0)