\(m_1=\dfrac{11}{2}\)

\(m_2=3\)

thay X=-1, Y=3 giải phương trình ta được m=3

Thay m=3 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y=3\\3x+4y=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x+9y=9\\3x+4y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5y=3\\x+3y=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3}{5}\\x=3-3y=3-\dfrac{9}{5}=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{4}\)

=>\(m^2\ne4\)

=>\(m\notin\left\{2;-2\right\}\)(1)

Khi \(m\notin\left\{2;-2\right\}\) thì hệ phương trình tương đương với:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=3-my\\mx+4y=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=3-my\\m\cdot\left(3-my\right)+4y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3-my\\3m-m^2\cdot y+4y=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3m-y\left(m^2-4\right)=6\\x=3-my\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(m^2-4\right)=3m-6\\x=3-my\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)\left(m+2\right)}=\dfrac{3}{m+2}\\x=3-\dfrac{3m}{m+2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3}{m+2}\\x=\dfrac{3m+6-3m}{m+2}=\dfrac{6}{m+2}\end{matrix}\right.\)

Để x>1 và y>0 thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{m+2}>1\\\dfrac{3}{m+2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6-m-2}{m+2}>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4-m}{m+2}>0\\m>-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m-4}{m+2}< 0\\m>-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-2< m< 4\)

Kết hợp (1), ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}-2< m< 4\\m\ne2\end{matrix}\right.\)

Tên vietjack mà không làm được thì mang tiếng người ta quá

a, Hệ ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x>1-m\\x< 3m-2\end{matrix}\right.\)

Hệ không thể có nghiệm duy nhất 

Hệ có nghiệm khi \(\left(1-m;+\infty\right)\cap\left(-\infty;3m-2\right)\ne\varnothing\)

⇔ 3m - 2 > 1 - m

⇔ m > \(\dfrac{4}{3}\)

Vậy hệ vô nghiệm khi m ≤ \(\dfrac{4}{3}\)

Bài 1:

- Với \(m=0\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}0x+y=3.0-1\\x+0y=0+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(m=0\) hệ đã cho có nghiệm duy nhất.

- Với \(m\ne0\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m^2x-my=-3m^2+m\\x+my=m+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(1-m^2\right)x=-3m^2+2m+1\left(1\right)\)

- Với \(m=1\). Thế vào (1) ta được:

\(0x=0\) (phương trình vô số nghiệm).

\(\left(2\right)\Rightarrow x+y=2\Leftrightarrow y=2-x\)

- Vậy với \(m=1\) thì hệ đã cho có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-x\end{matrix}\right.\)

Với \(m=-1\). Thế vào (1) ta được:

\(0x=-4\) (phương trình vô nghiệm)

Vậy với \(m=-1\) thì hệ đã cho vô nghiệm

Với \(m\ne\pm1,0\).

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+2m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+3m-m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m\left(1-m\right)+\left(1-m\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\left(1-m\right)\left(3m+1\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m+1}{m+1}\)

Thay vào (2) ta được:

\(\dfrac{3m+1}{m+1}+my=m+1\)

\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=\left(m+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=m^2+2m+1\)

\(\Leftrightarrow my\left(m+1\right)=m^2-m\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m\left(m-1\right)}{m\left(m+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m-1}{m+1}\)

Vậy với \(m\ne\pm1\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3m+1}{m+1};\dfrac{m-1}{m+1}\right)\).

Bài 2:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-\left(m+1\right)y=1\left(2\right)\\4x-y=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+4\left(m+1\right)y=-4\\4x-y=-2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4\left(m+1\right)y-y=-6\)

\(\Leftrightarrow\left(4m+3\right)y=-6\)

\(\Rightarrow y=-\dfrac{6}{4m+3}\)

Để y nguyên thì:

\(6⋮\left(4m+3\right)\)

\(\Rightarrow\left(4m+3\right)\inƯ\left(6\right)\)

\(\Rightarrow4m+3\in\left\{1;2;3;6;-1;-2;-3;-6\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{0;-1\right\}\)

Với \(m=0\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.0+3}=-2\)

Thay vào (1) ta được:

\(4x-\left(-2\right)=-2\Leftrightarrow x=-1\)

Thử lại \(x=-1;y=-2\) cho (2) ta thấy phương trình nghiệm đúng.

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.

Với \(m=-1\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.\left(-1\right)+3}=6\)

Thay \(y=6\) vào (2) ta được:

\(4x-6=-2\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Thử lại \(x=1;y=6\) cho (2) ta thấy pt nghiệm đúng.

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;6\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.

\(\left\{{}\begin{matrix}D=m^2-4\\D_x=9m-32\\D_y=8m-9\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất khi \(D\ne0\Leftrightarrow m^2-4\ne0\Leftrightarrow m\ne\pm2\)

Hệ vô nghiệm khi \(\left\{{}\begin{matrix}D=0\\\left[{}\begin{matrix}D_x\ne0\\D_y\ne0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\pm2\\\left[{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{32}{9}\\m\ne\dfrac{9}{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=\pm2\)

giúp mình vớiii

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=9\\x+my=8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2x+4my=9m\\4x+4my=32\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-4\right)x=9m-32\\mx+4y=9\end{matrix}\right.\) 

Hệ có nghiệm duy nhất khi \(m^2-4\ne0\Rightarrow m\ne\pm2\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{9m-32}{m^2-4}\\y=\dfrac{9-mx}{4}=\dfrac{8m-9}{m^2-4}\end{matrix}\right.\)

\(x=3y\Rightarrow\dfrac{9m-32}{m^2-4}=\dfrac{3\left(8m-9\right)}{m^2-4}\)

\(\Rightarrow9m-32=3\left(8m-9\right)\)

\(\Rightarrow m=-\dfrac{1}{3}\)