\(P=\sqrt{\left(x+2\right)\left(2x+1\right)}+2\sqrt{x+3}-2x\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(x+2+2x+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(4+x+3\right)-2x=5\)

\(P_{max}=5\) khi \(x=1\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(A=\sqrt{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)}+2\sqrt{x+3}-2x\\ A\le\dfrac{2x+1+x+2}{2}+\dfrac{4+x+3}{2}-2x\\ A\le\dfrac{3x+3}{2}+\dfrac{x+7}{2}-2x=\dfrac{3x+3+x+7-4x}{2}=5\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+1=x+2\\4=x+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\)

`sqrt{x-2}-2>=sqrt{2x-5}-sqrt{x+1}`

`đk:x>=5/2`

`bpt<=>\sqrt{x-2}+\sqrt{x+1}>=\sqrt{2x-5}+2`

`<=>x-2+x+1+2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=2x-5+4+4\sqrt{2x-5}`

`<=>2x-1+2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=2x-1+4\sqrt{2x-5}`

`<=>2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=4\sqrt{2x-5}`

`<=>sqrt{x^2-x-2}>=2sqrt{2x-5}`

`<=>x^2-x-2>=4(2x-5)`

`<=>x^2-x-2>=8x-20`

`<=>x^2-9x+18>=0`

`<=>(x-3)(x-6)>=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le 3\end{array} \right.\) 

Kết hợp đkxđ:

`=>` \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\\dfrac52 \le x \le 3\end{array} \right.\) 

$A=2x-\sqrt{x}=2(x-\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{4^2})-\frac{1}{8}$

$=2(\sqrt{x}-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{8}$

$\geq \frac{-1}{8}$

Vậy $A_{\min}=-\frac{1}{8}$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{1}{16}$

$B=x+\sqrt{x}$

Vì $x\geq 0$ nên $B\geq 0+\sqrt{0}=0$

Vậy $B_{\min}=0$. Giá trị này đạt tại $x=0$

Vì $2-x\geq 0$ (theo ĐKXĐ) nên $C=1+\sqrt{2-x}\geq 1$

Vậy $C_{\min}=1$. Giá trị này đạt tại $2-x=0\Leftrightarrow x=2$

Bài 3:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\((2x+3y)^2\leq (2x^2+3y^2)(2+3)\)

\(\Leftrightarrow A^2\leq 5(2x^2+3y^2)\leq 5.5\)

\(\Leftrightarrow A^2\leq 25\Leftrightarrow A^2-25\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (A-5)(A+5)\leq 0\Leftrightarrow -5\leq A\leq 5\)

Vậy \(A_{\min}=-5\Leftrightarrow (x,y)=(-1;-1)\)

\(A_{\max}=5\Leftrightarrow x=y=1\)

Bài 4:

Lời giải:

\(B=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\)

\(\Rightarrow B^2=(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})^2=4+2\sqrt{(x-1)(5-x)}\)

Vì \(\sqrt{(x-1)(5-x)}\geq 0\Rightarrow B^2\geq 4\)

Mặt khác \(B\geq 0\)

Kết hợp cả hai điều trên suy ra \(B\geq 2\)

Vậy \(B_{\min}=2\).

Dấu bằng xảy ra khi \((x-1)(5-x)=0\Leftrightarrow x\in\left\{1;5\right\}\)

---------------------------------------

\(A=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\)

\(\Rightarrow A^2=2x^2+2+2\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}\)

\(\Leftrightarrow A^2=2x^2+2+2\sqrt{(x^2+1)^2-x^2}=2x^2+2+2\sqrt{x^4+1+x^2}\)

Vì \(x^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow A^2\geq 2+2\sqrt{1}\Leftrightarrow A^2\geq 4\)

Mà $A$ là một số không âm nên từ \(A^2\geq 4\Rightarrow A\geq 2\)

Vậy \(A_{\min}=2\Leftrightarrow x=0\)

Bạn xem lại ĐKĐB. Nếu $x\geq \frac{-1}{3}$ thì mình nghi ngờ $\sqrt{3x-1}$ của bạn viết là $\sqrt{3x+1}$Còn nếu đúng là $\sqrt{3x-1}$ thì ĐK cần là $x\geq \frac{1}{3}$.

a: ĐKXĐ: x^2-2x<>0 và x^2-1>0

=>(x>1 và x<>2) hoặc x<-1

b: ĐKXĐ: x+1>0 và 5-3x>0

=>x>-1 và 3x<5

=>-1<x<5/3

c: DKXĐ: 5x+3>=0 và 3-x>0

=>x>=-3/5 và x<3

=>-3/5<=x<3

d: ĐKXĐ: 4-x^2>0 và 1+x>=0

=>x^2<4 và x>=-1

=>-2<x<2 và x>=-1

=>-1<=x<2

e: ĐKXĐ: 2-3x<>0 và 1-6x>0

=>x<>2/3 và x<1/6

=>x<1/6