\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-y+2\right)\left(x^2+xy+y^2-2x-4y-8\right)=0\)

\(a,\) Sửa đề: \(\sqrt{3x^2-12x+16}+\sqrt{y^2-4y+13}=5\)

Ta thấy \(3x^2-12x+16=3\left(x-2\right)^2+4\ge4\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-12x+16}\ge\sqrt{4}=2\)

\(y^2-4y+13=\left(y-2\right)^2+9\ge9\Leftrightarrow\sqrt{y^2-4y+13}\ge\sqrt{9}=3\)

Cộng vế theo vế 2 BĐT trên:

\(\sqrt{3x^2-12x+16}+\sqrt{y^2-4y+13}\ge2+3=5\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy pt có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(2;2\right)\)

\(b,x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\\ \Leftrightarrow x+y+z+4-2\sqrt{x-2}-4\sqrt{y-3}-6\sqrt{z-5}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-4\sqrt{y-3}+4\right)+\left(z-5+6\sqrt{z-5}+9\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}-1=0\\\sqrt{y-3}-2=0\\\sqrt{z-5}-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\y-3=4\\z-5=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=7\\z=14\end{matrix}\right.\)

Đề bài: Giải hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}y^3-12y-x^3+6x^2-16=0\left(1\right)\\4y^2+2\sqrt{4-y^2}-5\sqrt{4x-x^2}+6=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\).

Giải:

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le4\\-2\le y\le2\end{matrix}\right.\).

\(\left(1\right)\Leftrightarrow y^3-12y=\left(x-2\right)^3-12\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2-y\right)\left[\left(x-2\right)^2+\left(x-2\right)y+y^2-12\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y+2\\x^2+xy+y^2-4x-2y-8=0\end{matrix}\right.\).

+) TH1: \(x=y+2\): Thay vào (2) ta được:

\(4y^2+2\sqrt{4-y^2}-5\sqrt{4\left(y+2\right)-\left(y+2\right)^2}+6=0\)

\(\Leftrightarrow4y^2+2\sqrt{4-y^2}-5\sqrt{4-y^2}+6=0\)

\(\Leftrightarrow4y^2+6=3\sqrt{4-y^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(4y^2+6\right)^2=9\left(4-y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow16y^4+57y^2=0\)

\(\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=2\) (TMĐK).

+) TH2: \(x^2+xy+y^2-4x-2y-8=0\):

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+y^2+\left(x-2\right)y=12\).

Do VT \(\le12\) (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 4; y = 2 hoặc x = 0; y = -2).

Do đó \(\left[{}\begin{matrix}x=4;y=2\\x=0;y=-2\end{matrix}\right.\).

Thử lại không có gt nào thỏa mãn.

Vậy...

b/ \(\Rightarrow2x+3+2\sqrt{2x+3}-x^2-6x-8=0\)

Đặt \(a=\sqrt{2x+3}\left(a\ge0\right)\)

\(\left(1\right)\Rightarrow a^2+2a-x^2-6x-8=0\)

Có: \(\Delta=1+x^2+6x+8=x^2+6x+9=\left(x+3\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=x+3\)

\(\Rightarrow a=\frac{-1+x+3}{1}=x+2\)

hoặc \(a=\frac{-1-x-3}{1}=-x-4\)

+) Với a = x + 2 \(\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}=x+2\left(x\ge-2\right)\) 

......... tự giải ra x

+) Với a = -x - 4  \(\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}=-x-4\left(x\le-4\right)\)

.........tự giải ra x

a) ĐK: x² - 7x + 8 ≥ 0

Đặt √(x² - 7x + 8) = a (1)

⇔ a² + a - 20 = 0

⇔ a = 4 hoặc a = -5

Thay vào (1) là tìm được x, kết hợp với ĐK là xong.

b) Dễ chứng minh Vế Trái lớn hơn hoặc bằng 0.

Dấu "=" xảy ra khi x = -4; y=​ 4. ....... là nghiệm của pt

a) Đặt \(\left(x^2-7x;\sqrt{x^2-7x+8}\right)=\left(a;b\right)\left(b\ge0\right)\)

Phương trình đã cho tương đương với hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=12\\b^2-a=8\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=12\\b^2+b=20\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=20\\\left[{}\begin{matrix}b=4\\b=-5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)(Loại n_o -5)

\(\left\{{}\begin{matrix}a=16\\b=4\end{matrix}\right.\)

Thay a;b vào chỗ đặt ban đầu, giải phương trình bậc 2 tìm nghiệm

c) Đặt \(\left(\sqrt{x-3};\sqrt{5-x}\right)=\left(a;b\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-\left(ab+3\right)\\a^2+b^2=2\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-3-ab\\\left(a+b\right)^2-2ab=2\end{matrix}\right.\)

Lại đặt \(\left(a+b;ab\right)=\left(z;t\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}z=-3-t\\z^2-2t=2\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}z=-3-t\\z^2-2\left(-3-z\right)=2\end{matrix}\right.\)

Tiếp tục giải ;v