Theo bài ra ta có:

\(x^2y+xy^2+x+y=\left(x^2y+xy^2\right)+x+y\)

\(=xy\left(x+y\right)+x+y=x+y+x+y\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)=16\Rightarrow x+y=16\div2=8\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=8^2=64\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2=64\)

\(\Rightarrow x^2+2+y^2=64\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=64-2=62\)

Vậy \(x^2+y^2=62\)

\(x^2y+xy^2+x+y=16\)

\(\Leftrightarrow2x+2y=16\)

\(\Leftrightarrow x+y=8\)

Lại có\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)

                           \(=8^2-2\)

                          \(=62\)

Vậy\(x^2+y^2=62\)

Giả sử x=y

Nhân cả hai vế với x, ta được: x² = xy

Trừ cả hai vế cho y², ta được: x² - y² = xy - y²

Phân tích thành nhân tử cả hai vế, ta được: (x + y )( x - y ) = y( x – y )

Chia cả hai vế cho x - y, ta được: x + y = y

Vì x = y, do đó 2y = y

Chia cả hai vế cho y, ta có: 2 = 1

Có phải 2 = 1 không ? Tìm lỗi sai !

1: =(x+y-3x)(x+y+3x)

=(-2x+y)(4x+y)

2: =(3x-1-4)(3x-1+4)

=(3x+3)(3x-5)

=3(x+1)(3x-5)

3: =(2x)^2-(x^2+1)^2

=-[(x^2+1)^2-(2x)^2]

=-(x^2+1-2x)(x^2+1+2x)

=-(x-1)^2(x+1)^2

4: =(2x+1+x-1)(2x+1-x+1)

=3x(x+2)

5: =[(x+1)^2-(x-1)^2][(x+1)^2+(x-1)^2]

=(2x^2+2)*4x

=8x(x^2+1)

6: =(5x-5y)^2-(4x+4y)^2

=(5x-5y-4x-4y)(5x-5y+4x+4y)

=(x-9y)(9x-y)

7: =(x^2+xy+y^2+xy)(x^2+xy-y^2-xy)

=(x^2+2xy+y^2)(x^2-y^2)

=(x+y)^3*(x-y)

8: =(x^2+4y^2-20-4xy+16)(x^2+4y^2-20+4xy-16)

=[(x-2y)^2-4][(x+2y)^2-36]

=(x-2y-2)(x-2y+2)(x+2y-6)(x+2y+6)

Lời giải:
Vì $x^2+y^2$ chẵn nên $x,y$ có cùng tính chất chẵn lẻ

Nếu $x,y$ cùng lẻ. Đặt $x=2k+1, y=2m+1$ với $k,m$ nguyên 

Khi đó:

$x^2+y^2=(2k+1)^2+(2m+1)^2=4(k^2+m^2+k+m)+2$ không chia hết cho $4$

$\Rightarrow x^2+y^2$ không chia hết cho $16$ (trái giả thiết)

Do đó $x,y$ cùng chẵn 

Đặt $x=2k, y=2m$ với $k,m$ nguyên 

a. 

$xy=2k.2m=4km\vdots 4$ (đpcm)

b.

$x^2+y^2=(2k)^2+(2m)^2=4(k^2+m^2)\vdots 16$

$\Rightarrow k^2+m^2\vdots 4$

Tương tự lập luận ở trên, $k,m$ cùng tính chẵn lẻ. Nếu $k,m$ cùng lẻ thì $k^2+m^2$ không chia hết cho $4$ (vô lý) nên $k,m$ cùng chẵn.

Đặt $k=2k_1, m=2m_1$ với $k_1, m_1$ nguyên 

Khi đó:

$xy=2k.2m=4km=4.2k_1.2m_1=16k_1m_1\vdots 16$ (đpcm)

\(S=\dfrac{x^3}{16\left(y+16\right)}+\dfrac{y^3}{16\left(x+16\right)}+\dfrac{2021}{2022}\)

\(\dfrac{x^3}{16\left(y+16\right)}+\dfrac{y+16}{100}+\dfrac{16}{80}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3\left(y+16\right).16}{16\left(y+16\right).100.80}}=\dfrac{3x}{20}\)

\(tương\) \(tự\Rightarrow\dfrac{y^3}{16\left(x+16\right)}\ge\dfrac{3y}{20}\)

\(\Rightarrow S\ge\dfrac{3x}{20}+\dfrac{3y}{20}-\left(\dfrac{x+16}{100}+\dfrac{y+16}{100}\right)-2.\dfrac{16}{80}+\dfrac{2021}{2022}=\dfrac{3x+3y}{20}-\dfrac{x+y+32}{100}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{2021}{2022}=\dfrac{15x+15y-x-y-32}{100}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{2021}{2022}=\dfrac{14\left(x+y\right)-32}{100}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{2021}{2022}\)

\(xy=16\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow x+y\ge8\Rightarrow S\ge\dfrac{14.8-32}{100}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{2021}{2022}=\dfrac{2}{5}+\dfrac{2021}{2022}\)

\(\Rightarrow minS=\dfrac{2}{5}+\dfrac{2021}{2022}\Leftrightarrow x=y=4\)

\(\dfrac{x^3}{16\left(y+16\right)}+\dfrac{y+16}{100}+\dfrac{1}{5}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3\left(y+16\right)}{16.100.5\left(y+16\right)}}=\dfrac{3x}{20}\)

Tương tự: \(\dfrac{y^3}{16\left(x+16\right)}+\dfrac{x+16}{100}+\dfrac{1}{5}\ge\dfrac{3y}{20}\)

Cộng vế:

\(S+\dfrac{x+y+32}{100}+\dfrac{2}{5}\ge\dfrac{3\left(x+y\right)}{20}+\dfrac{2021}{2022}\)

\(S\ge\dfrac{9}{20}\left(x+y\right)-\dfrac{42}{25}+\dfrac{2021}{2022}\ge\dfrac{9}{20}.2\sqrt{xy}-\dfrac{42}{25}+\dfrac{2021}{2022}=...\)

a) \(xy+x+2y=5\\ \Rightarrow y\left(x+2\right)+x+2=5+2\\ \Rightarrow\left(x+2\right)\left(y+1\right)=7\)

Ta xét bảng:

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;6\right);\left(5;0\right);\left(-3;-8\right);\left(-9;-2\right)\right\}\)

b) \(xy-3x-y=0\\ \Rightarrow x\left(y-3\right)-y+3=3\\ \Rightarrow\left(y-3\right)\left(x-1\right)=3\)

Ta xét bảng:

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(2;6\right);\left(4;4\right);\left(0;0\right);\left(-2;2\right)\right\}\)

c) \(xy+2x+2y=-16\\ \Rightarrow x\left(y+2\right)+2y+4=-12\\ \Rightarrow\left(y+2\right)\left(x+2\right)=-12\)

Ta xét bảng:

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-14\right);\left(0;-8\right);\left(1;-6\right);\left(2;-5\right);\left(4;-4\right);\left(10;-3\right);\left(-3;10\right);\left(-4;4\right);\left(-5;2\right);\left(-6;1\right);\left(-8;0\right);\left(-14;-1\right)\right\}\)

ĐKXĐ:...

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+x^2y=16\\y^3+xy^2=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3-y^3+x^2y-xy^2=0\\x^3+x^2y=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+xy\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^3+x^2y=16\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^3+x^3=16\\x^3-x^3=16\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2x^3=16\Leftrightarrow x^3=8\Leftrightarrow x=2\) (tm)

** Bổ sung điều kiện $x,y$ là số nguyên.

Lời giải:
Ta có:

$xy+3x+3y=-16$

$x(y+3)+3(y+3)=-16+9$

$(y+3)(x+3)=-7$

Với $x,y$ nguyên thì $x+3, y+3$ cũng là số nguyên.

Khi đó, ta có các TH sau:
TH1: $x+3=1, y+3=-7\Rightarrow x=-2; y=-10$

TH2: $x+3=-1, y+3=7\Rightarrow x=-4; y=4$

TH3: $x+3=-7, y+3=1\Rightarrow x=-10; y=-2$
TH4: $x+3=7, y+3=-1\Rightarrow x=4; y=-4$