\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) \Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)(1)

Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\), (1) trở thành \(t^2-3t+2\ge0\)(2)

(2) đúng khi \(t\le1\)hoặc \(t\ge2\), chú ý rằng theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:

\(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{xy}}=2\)với x,y > 0 

Do đó (2) đúng, suy ra (1) đúng ( đpcm ).

Đề đúng không thế bạn. 3 hay là 2 thế

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4+4x^2y^2}{x^2y^2}\ge\frac{3x^3y+3y^3x}{x^2y^2}\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+4x^2y^2-3x^3y-3xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2xy+y^2\right)+y^2\left(x^2-2xy+y^2\right)-x^3y-xy^3+2x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)-xy\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)

\(\Rightarrowđpcm."="\Leftrightarrow x=y\)

Ta có:

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-2+4-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\right)\ge0\left(1\right)\)

Đến đây có 2 cách giải quyết

Cách 1:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{xy}\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^2y^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2\left[\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]}{x^2y^2}\ge0\left(true!!!\right)\)

Cách 2 là đặt ẩn:)

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge4\cdot\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}=4\)

\(\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)

Khi đó ta có:

\(\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)

Nếu \(t\ge2\Rightarrow t+1>0;t-2\ge0\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)

Nếu \(t\le-2\Rightarrow t+1< 0;t-2< 0\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)>0\)

=> đpcm

coolkid cách 1 viết sai rồi nha Cool kid, phải là:

\(VT-VP=\frac{\left(x-y\right)^2\left[\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]}{x^2y^2}\ge0\) (chú ý là (x - y)² chứ ko phải (x + y)² nha!)

Lời giải:

BĐT đã cho tương đương với:
\((\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+2-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2-3t\geq 0\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0(*)\) ( $t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$)

Ta thấy: \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}\).

Nếu $xy>0$: \(t=\frac{(x-y)^2}{xy}+2\geq 2\)

\(\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\Rightarrow (*)\) đúng

Nếu $xy< 0$: \(t=\frac{(x+y)^2}{xy}-2\leq -2\)

\(\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\Rightarrow (*)\) đúng.

Vậy $(*)$ luôn đúng, ta có đpcm.

Biến đổi tương đương, dễ dàng chứng minh Bđt:

\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4}{\left(x+z\right)^2}\ge\frac{4}{x^2+yz}\)\(\Rightarrow VT\ge\frac{x^2}{yz}+\frac{4}{x^2+yz}\)

Từ \(3y^2z^2+x^2=2\left(x+yz\right)\) ta có:

\(3y^2z^2+x^2\le x^2+1+2yz\)

\(\Rightarrow3y^2z^2-2yz-1\le0\Rightarrow yz\le1\)

Khi đó:

\(VT\ge x^2+\frac{4}{x^2+1}=\left(x^2+1\right)+\frac{4}{x^2+1}-1\ge3\)

Dấu = khi x=y=z=1

1/ Với số dương ta luôn có \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) (Cauchy hoặc quy đồng chuyển vế sẽ chứng minh được dễ dàng). Ta cần chứng minh:

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) (1)

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\ge2\) thì (1) trở thành:

\(a^2+2\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\) (2)

Do \(a\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1>0\\a-2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng, vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

2/ \(B=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+12\left(x^2-2x\right)+3\left(y^2+6y\right)+2045\)

\(B=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y+12\right)+3\left(y^2-6y+12\right)-36+2045\)

\(B=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6y+12\right)+2009\)

\(B=\left[\left(x-1\right)^2+2\right]\left[\left(y+3\right)^2+3\right]+2009\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+2\ge2\\\left(y+3\right)^2+3\ge3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B\ge2.3+2009=2015\)

\(\Rightarrow B_{min}=2015\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-3\end{matrix}\right.\)

https://diendantoanhoc.net/topic/140802-cmrfrac4x2y2x2y22fracx2y2fracy2x2geq-3/