Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x - 3 = 0 (1)
CMR pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị m. Tìm m thoả mãn:
\(\dfrac{x_1}{x^2_2}+\dfrac{x_2}{x^2_1}=m-1\)
Cho phương trình x2-2(m-1)x -m= 0
a) chứng minh phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1,x2 với mọi m
b) Với m≠0, lập phương trình thoả mãn: y1= x1 + \(\dfrac{1}{x_2}\) và y2= x2 + \(\dfrac{1}{x_1}\)
a) Ta có: \(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)\)
\(=\left(2m-2\right)^2+4m\)
\(=4m^2-8m+4+4m\)
\(=4m^2-4m+4\)
\(=4m^2-4m+1+3\)
\(=\left(2m-1\right)^2+3>0\forall x\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm x1,x2 với mọi m(Đpcm)
b) Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1\cdot x_2=-m\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(y_1+y_2=x_1+\dfrac{1}{x_2}+x_2+\dfrac{1}{x_1}\)
\(=\left(x_1+x_2\right)+\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)\)
\(=\left(2m-2\right)+\dfrac{2m-2}{-m}\)
\(=2m-2-\dfrac{2m-2}{m}\)
\(=\dfrac{2m^2-2m-2m+2}{m}\)
\(=\dfrac{2m^2-4m+2}{m}\)
\(=\dfrac{2\left(m^2-2m+1\right)}{m}\)
\(=\dfrac{2\left(m-1\right)^2}{m}\)
Ta có: \(y_1y_2=\left(x_1+\dfrac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\dfrac{1}{x_1}\right)\)
\(=x_1x_2+2+\dfrac{1}{x_1x_2}\)
\(=-m+2+\dfrac{1}{-m}\)
\(=-m+2-\dfrac{1}{m}\)
\(=\dfrac{-m^2}{m}+\dfrac{2m}{m}-\dfrac{1}{m}\)
\(=\dfrac{-m^2+2m-1}{m}\)
\(=\dfrac{-\left(m-1\right)^2}{m}\)
Phương trình đó sẽ là:
\(x^2-\dfrac{2\left(m-1\right)^2}{m}x-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m}=0\)
Cho pt : \(x^2-2mx+m-2=0\)
a ) c/m pt luôn luôn có 2 \(n_o\) phân biệt với \(\forall m\)
b ) Gọi x1 , x2 là no của pt . Tìm m để bt \(M=\dfrac{-24}{x^2_1+x^2_2-6.x_1.x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất
a) Ta có : \(\Delta"=\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\forall m\)
=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Hệ thức Viete :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\dfrac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}\)
\(=\dfrac{-24}{\left(2m\right)^2-8.\left(m-2\right)}=\dfrac{-6}{m^2-2m+4+=}=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\)
Do (m - 1)2 + 3 \(\ge3\forall m\)
nên \(\dfrac{6}{\left(m-1\right)^2+3}\le2\Leftrightarrow M=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\ge-2\)
Vậy Mmin = -2 <=> m = 1
1 . Cho pt :\(x^2-mx+m-1=0\) . Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và biểu thức \(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x^2_1+x^2_2+2\left(x_1x_2+1\right)}\) đạt GTLN
2.Giả sử m là giá trị để phương trình \(x^2-mx+m-2=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1^{^2}-2}{x_1-1}.\dfrac{x^2_2-2}{x_2-1}=4\) . Tìm các giá trị của m
1.
\(a+b+c=0\) nên pt luôn có 2 nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)
\(A=\dfrac{m^2+2-\left(m^2-2m+1\right)}{m^2+2}=1-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)
2.
\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\left(x_1^2-2\right)\left(x_2^2-2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=4\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2-2m^2+4\left(m-2\right)+4}{m-2-m+1}=4\)
\(\Rightarrow-m^2=-4\Rightarrow m=\pm2\)
Cho phương trình \(x^2-\left(m+1\right)x+m=0\left(1\right)\)(với m là tham số)
a.Giải phương trình (1) khi m=-2
b.Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn:
(\(x^2_1-mx_1+x_2+2m\))\(\left(x^2_2-mx_2+x_1+2m\right)=9x_1x_2\)
a) Thay m=-2 vào phương trình, ta được:
\(x^2-\left(-x\right)-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)
a=1; b=1; c=-2
Vì a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-2}{1}=-2\)
cho phương trình x2-2(m-1)x-3=0
tìm m để pt trên có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn\(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\)
Xét \(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4.\left(-3\right)=4\left(m-1\right)^2+12>0\forall m\)
=>Pt luôn có hai nghiệm pb
Theo viet:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=-3\ne0\forall m\end{matrix}\right.\)
Có \(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\)
\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3=\left(m-1\right)x_1^2.x_2^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=\left(m-1\right).\left(-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3-3\left(-3\right).2\left(m-1\right)=9\left(m-1\right)\)
\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3+9\left(m-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[8\left(m-1\right)^2+9\right]=0\)
\(\Leftrightarrow m=1\)(do \(8\left(m-1\right)^2+9>0\) với mọi m)
Vậy m=1
Vì \(ac< 0\) \(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
Mặt khác: \(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\) \(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2-x_1x_2\right)}{x_1^2x_2^2}=m-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]}{x_1^2x_2^2}=m-1\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(2m-2\right)\left(4m^2-8m+13\right)}{9}=m-1\)
\(\Leftrightarrow...\)
b Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+m+3=0\) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(x_1^2+x_1.x_2+x_2^2=1\)
c Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0\) có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+6=0\)
d Tìm m để phương trình \(3x^2+4\left(m-1\right)x+m^2-4m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\) (x1+x2)
b) phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le1\)
Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)
Cho phương trình: x2 - (m + 2).x + 2m = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1.x_2}{4}\)
Δ=(m+2)^2-4*2m=(m-2)^2
Để PT có hai nghiệm pb thì m-2<>0
=>m<>2
\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1x_2}{4}\)
=>\(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{x_1x_2}{4}\)
=>\(\dfrac{m+2}{2m}=\dfrac{2m}{4}=\dfrac{m}{2}\)
=>2m^2=2m+4
=>m^2-m-2=0
=>m=2(loại) hoặc m=-1
Cho pt: x2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)
Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m+1\right)\)
\(=\left(-2m+2\right)^2-4\left(m+1\right)\)
\(=4m^2-8m+4-4m-4\)
\(=4m^2-12m\)
Để phương trình có nghiệm thì \(\text{Δ}\ge0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-12m\ge0\)
\(\Leftrightarrow4m\left(m-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\left(m-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\)
Khi \(\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\), Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1\cdot x_2=m+1\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1\cdot x_2}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m-2\right)^2-2\cdot\left(m+1\right)}{m+1}=4\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-2=4\left(m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4m^2-10m+2-4m-4=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-14m-2=0\)
Đến đây bạn tự làm nhé, chỉ cần tìm m và đối chiều với điều kiện thôi
Pt có 2 nghiệm
\(\to \Delta=[-2(m-1)]^2-4.1.(m+1)=4m^2-8m+4-4m-4=4m^2-12m\ge 0\)
\(\leftrightarrow m^2-3m\ge 0\)
\(\leftrightarrow m(m-3)\ge 0\)
\(\leftrightarrow \begin{cases}m\ge 0\\m-3\ge 0\end{cases}\quad or\quad \begin{cases}m\le 0\\m-3\le 0\end{cases}\)
\(\leftrightarrow m\ge 3\quad or\quad m\le 0\)
Theo Viét
\(\begin{cases}x_1+x_2=2(m-1)\\x_1x_2=m+1\end{cases}\)
\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)
\(\leftrightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=4\)
\(\leftrightarrow \dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)
\(\leftrightarrow \dfrac{[2(m-1)]^2-2.(m+1)}{m+1}=4\)
\(\leftrightarrow 4m^2-8m+4-2m-2=4(m+1)\)
\(\leftrightarrow 4m^2-10m+2-4m-4=0\)
\(\leftrightarrow 4m^2-14m-2=0\)
\(\leftrightarrow 2m^2-7m-1=0 (*)\)
\(\Delta_{*}=(-7)^2-4.2.(-1)=49+8=57>0\)
\(\to\) Pt (*) có 2 nghiệm phân biệt
\(m_1=\dfrac{7+\sqrt{57}}{2}(TM)\)
\(m_2=\dfrac{7-\sqrt{57}}{2}(TM)\)
Vậy \(m=\dfrac{7\pm \sqrt{57}}{2}\) thỏa mãn hệ thức
Cho pt ẩn x : x2 - 5x + m - 2 = 0 (1)
a) Giải pt (1) khi m = -4
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm dương phân biệt x1 , x2 thoả mãn hệ thức:
\(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=3\)
a: Khi m = -4 thì:
\(x^2-5x+\left(-4\right)-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x-6=0\)
\(\Delta=\left(-5\right)^2-5\cdot1\cdot\left(-6\right)=49\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7>0\)
Pt có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{5+7}{2}=6;x_2=\dfrac{5-7}{2}=-1\)
b: \(\Delta=\left(-5\right)^2-4\left(m-2\right)=25-4m+8=33-4m\)
Theo viet:
\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5\)
\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-2\)
Để pt có 2 nghiệm dương phân biệt:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}33-4m>0\\5>0\left(TM\right)\\m-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{33}{4}\\x>2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2< m< \dfrac{33}{4}\)
Vậy \(2< m< \dfrac{33}{4}\) thì pt có 2 nghiệm dương phân biệt.
Theo đầu bài: \(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{x_1x_2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1+2\sqrt{x_1x_2}+x_2=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow5+2\sqrt{x_1x_2}=\dfrac{9}{4}\left(m-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{4}\left(m-2\right)-2\sqrt{m-2}-5=0\)
Đặt \(\sqrt{m-2}=t\Rightarrow m-2=t^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}t^2-2t-5=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{4}t^2-2+\left(-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(9t+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-2=0\\9t+10=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(TM\right)\\t=-\dfrac{10}{9}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)
Trả ẩn:
\(\sqrt{m-2}=2\)
\(\Rightarrow m-2=4\)
\(\Rightarrow m=6\)
Vậy m = 6 thì x1 , x2 thoả mãn hệ thức \(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=\dfrac{3}{2}\).