x1+x2=2m+2; x1x2=m^2+4

x1^2+2(m+1)x2<=2m^2+20

=>x1^2+x2(x1+x2)<=2m^2+20

=>x1^2+x2x1+x2^2<=2m^2+20

=>(x1+x2)^2-x1x2<=2m^2+20

=>(2m+2)^2-(m^2+4)<=2m^2+20

=>4m^2+8m+4-m^2-4-2m^2-20<=0

=>m^2-8m-20<=0

=>m<=-10 hoặc m>2

\(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\left(1\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\) hay \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-4=m^2+2m+1-m^2-4=2m-4>0\Leftrightarrow m>2\)

Theo hệ thức Viét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=m^2+4\end{matrix}\right.\)

Vì \(x_1^2\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có : \(x_1^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\Leftrightarrow x_1^2=2\left(m+1\right)x_1-m^2-4\)

Ta lại có : \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-m^2-4+2\left(m+1\right)x_2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)\left(x_1+x_2\right)-m^2-4\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-m^2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2+2m+1\right)-m^2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m-16\le0\)

\(\Leftrightarrow-10\le m\le2\)

Kết hợp điều kiện....

=>(x1+x2)^2+x1x2=1

=>(-2m)^2+(-3)=1

=>4m^2=4

=>m=-1 hoặc m=1

Do a = 1 và c = -3

⇒ a và c trái dấu

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Viét, ta có:

x₁ + x₂ = -2m

x₁x₂ = -3

Lại có:

x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = 1

⇔ x₁² + 2x₁x₂ + x₂² + x₁x₂ = 1

⇔ (x₁ + x₂)² + x₁x₂ = 1

⇔ (-2m)² - 3 = 1

⇔ 4m² = 4

⇔ m² = 1

⇔ m = -1 hoặc m = 1

Vậy m = -1; m = 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = 1

Phương trình có nghiệm khi:

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+m+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow m\ge0\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1-\sqrt{m}\\x_2=m+1+\sqrt{m}\end{matrix}\right.\)

∆ = m² - 4(m - 5)

= m² - 4m + 5

= (m² - 4m + 4) + 1

= (m - 2)² + 1 > 0 với mọi m

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viét ta có:

x₁ + x₂ = m (1)

x₁.x₂ = m - 5 (2)

x₁ + 2x₂ = 1 (3)

Lấy (3) - (1) ta được x₂ = 1 - m thay vào (1) ta được

x₁ + 1 - m = m

⇔ x₁ = 2m - 1

Thay x₁ = 2m - 1 và x₂ = 1 - m vào (2) ta được:

(2m - 1)(1 - m) = m - 5

⇔ 2m - 2m² - 1 + m - m + 5 = 0

⇔ -2m² + 2m + 5 = 0

∆ = 4 - 4.(-2).5

= 44

m₁ = -1 + √11

m₂ = -1 - √11

Vậy m = -1 + √11; m = -1 - √11 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x₁ + 2x₂ = 1

\(x^2-11x+m-2=0\left(1\right)\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta>0\Rightarrow\left(-11\right)^2-4.1.\left(m-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow121-4m+8>0\)

\(\Leftrightarrow m< \dfrac{129}{4}\)

Theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=11\left(1'\right)\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\).

Ta có: \(\sqrt{x^2_1-10x_1+m-1}=5-\sqrt{x_2+1}\left(2\right)\)

Đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-10x_1+m-1\ge0\\-1\le x_2\le24\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Rightarrow x^2_1-10x_1+m-1=25-10\sqrt{x_2+1}+x_2+1\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-10x_1+\left(m-2\right)-25+10\sqrt{11-x_1+1}-x_2=0\)

\(\Rightarrow x_1^2-\left(x_1+x_2\right)-9x_1+x_1x_2-25+10\sqrt{12-x_1}=0\)

\(\Rightarrow x_1\left(x_1+x_2\right)-11-9x_1-25+10\sqrt{12-x_1}=0\)

\(\Rightarrow11x_1-9x_1-36+10\sqrt{12-x_1}=0\)

\(\Leftrightarrow2x_1+10\sqrt{12-x_1}-36=0\)

\(\Leftrightarrow x_1+5\sqrt{12-x_1}-18=0\)

\(\Leftrightarrow18-x_1=5\sqrt{12-x_1}\left(x_1\le12\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}18-x_1\ge0\\\left(18-x_1\right)^2=25\left(12-x_1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}18-x_1\ge0\\324-36x_1+x_1^2=300-25x_1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1\le18\\x_1^2-11x_1+24=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1\le18\\\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=8\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=3\\x_1=8\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Thay \(x_1=3\) vào (1') ta được:

\(3+x_2=11\Rightarrow x_2=8\left(nhận\right)\)

\(\Rightarrow m=x_1x_2+2=3.8+2=26\left(thỏa\Delta>0\right)\)

Thay \(x_1=8\) vào (1') ta được:'

\(8+x_2=11\Rightarrow x_2=3\left(nhận\right)\)

\(\Rightarrow m=x_1x_2+2=8.3+2=26\left(thỏa\Delta>0\right)\)

Vậy giá trị m cần tìm là 26.

Có\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)=4m^2+16>0\forall m\)

=> pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Có :\(P^2=\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right)^2=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)}=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{4m^2+16}\)\(\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge0\)

Dấu = xảy ra khi m=-1

\(ac=-m^2-1< 0;\forall m\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-m^2-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\)

\(\Leftrightarrow m^2-2\left(-m^2-1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow3m^2=1\)

\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

xét delta 

m² + 4m² + 4 = 5m² + 4 > 0 

=> phương trình luôn có 2 nghiệm x1x2

theo Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=m\\x1x2=-m^2-1\end{matrix}\right.\) 

x1² + x2² = 3 

<=> ( x1 +x2 )² - 2x1x2 = 3 

<=> m² + 2m² + 2 = 3 

<=> 3m² = 1 

=> m² = \(\dfrac{1}{3}\)

=> m = +- \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Ta có:

\(\text{∆}'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+m\right)\)

\(=m^2+2m+1-\left(m^2+m\right)=m+1\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

\(\Leftrightarrow\text{∆}'>0\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=m^2+m\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x^2_2}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x^2_2}{x_1^2.x_2^2}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow8[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2]=x_1^2.x_2^2\)

\(\Leftrightarrow8[[2\left(m+1\right)]^2-2\left(m^2+m\right)]=\left(m^2+m\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8\left[4m^2+8m+4-2m^2-2m\right]=m^4+2m^3+m^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(8\left[2m^2+6m+4\right]=m^4+2m^3+m^2\)

\(\Leftrightarrow m^4+2m^3-15m^2-48m-32=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m^3+m^2-16m-32\right)=0\)

Vì m>-1

\(\Leftrightarrow m^3+m^2-16m-32=0\)

Đến đây nghiêm xấu bạn xem lại đề hoặc có thể sử dụng CTN Cardano