Question

Cho phương trình: x² - 2(n - 1)x - n - 1 = 0

Tìm m để | x₁ - x₂ | có giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Chắc là tìm n?

\(\Delta'=\left(n-1\right)^2+n+1=n^2-n+2=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0;\forall n\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi n

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(n-1\right)\\x_1x_2=-n-1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(P=\left|x_1-x_2\right|\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{4\left(n-1\right)^2+4\left(n+1\right)}=2\sqrt{n^2-n+2}\)

\(=2\sqrt{\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}}\ge\sqrt{7}\)

\(P_{min}=\sqrt{7}\) khi \(n-\dfrac{1}{2}=0\Rightarrow n=\dfrac{1}{2}\)