Phương Ann Nhã Doanh đề bài khó wá Mashiro Shiina Đinh Đức Hùng

Nguyễn Huy Tú Lightning Farron Akai Haruma

Học hành thế này! Tớ mách cô Hiền nhé!

\(1.\)

Theo đề ra, ta có:

\(ax+by=c\)

\(bx+cy=a\Leftrightarrow ax+by+bx+cy+cx+ay=c+a+b\)

\(cx+by=b\)

\(\Leftrightarrow x\left(a+b+c\right)+y\left(a+b+c\right)=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(a+b+c\right)=0\)

Ta có: \(x,y\)thỏa mãn \(\Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow a+b=\left(-c\right)\)

Khi đó ta có:

\(a^3+b^3+c^3=a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3=\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)+c^3=3abc\)\(\left(đpcm\right)\)

Đặt: \(\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}=G\)

\(\Rightarrow G=\frac{cay-cbx}{c^2}=\frac{bcx-baz}{b^2}=\frac{abz-acy}{a^2}\)

\(\Rightarrow G=\frac{cay-cbx+bcx-baz+abz-acy}{c^2+b^2+a^2}\)

\(\Rightarrow G=0\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=\left(cx-az\right)^2=\left(bz-cy\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

GTLN chứ ?

\(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}+\frac{1}{ay}+\frac{1}{bz}+\frac{1}{cx}+\frac{1}{az}+\frac{1}{bx}+\frac{1}{cy}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

?

tìm giá trị nhỏ nhất cơ mà bạn PHÙNG MINH QUÂN ???

thử cho a=b=c=1 ko tìm được gtnn

1) pp: biến đổi tương đương

ta có: VT= \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+x^2\right).\)

        = \(\left(ax\right)^2+\left(ay\right)^2+\left(az\right)^2+\left(bx\right)^2+\left(by\right)^2+\left(bz\right)^2+\left(cx\right)^2+\left(cy\right)^2+\left(cz\right)^2\)     (*)

VP=\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2+\left(ay-bx\right)^2\)

=\(\: \left(ax\right)^2+\left(by\right)^2+\left(cz\right)^2+2\left(axby+bycz+czax\right)+\left(bz\right)^2+\left(cy\right)^2+\left(cx\right)^2+\left(az\right)^2\)

\(+\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2-2\left(bzcy+cxaz+aybx\right)\)   (**)

Từ (*),(**)=> VT-VP=0=> VT=VP=> \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+x^2\right).\)=\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2+\left(ay-bx\right)^2\)   (đpcm)

2) áp dụng BĐT Schwartz ta có: 

\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

=>\(2010^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)  (vì a+b+c=2010)

=>\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{2010^2}{3}=1346700\)

Dấu '=' xảy ra khi: a=b=c

Vậy GTNN của a^2 +b^2 +c^2 là 1346700 khi a=b=c