m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab))  = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1

Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD) 
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD) 
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD). 
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a 
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3 
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3

\(a^2+a=b^2+b\)

\(\Leftrightarrow a^2+a-b^2-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b+1\right)=0\)

Vì a, b là số dương \(\Rightarrow a+b+1>0\)

\(\Rightarrow a-b=0\)\(\Leftrightarrow a=b\)( đpcm )

Ta có: \(a^2+a=b^2+b\)

\(\Leftrightarrow a^2+a-b^2-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b+1\right)=0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}a>0\\b>0\end{cases}}\Rightarrow a+b+1>0\)

\(\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\)

c1:áp dụng bđt AM-GM:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=1008^2\)

=> đáp án A

c2: tương tự c1 . đáp án b

3.

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ab}}=2\)

Đáp án A

4.

\(a^2-a+1=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) ;\(\forall a\)

Đáp án A

Bạn tham khảo:

Cho hai số thực a;b thay đổi thỏa mãn điều kiện \(a b\ge1\) và \(a>0\) Tìm GTNN của \(A=\frac{8a^2 b}{4a} b^2\) - Hoc24

TK: \(a^2+b^2+c^2+abc=4\Leftrightarrow a^2+abc+b^2+c^2-4=0\)

Coi đây là PT bậc 2 ẩn a

\(\Leftrightarrow\Delta=b^2c^2-4b^2-4c^2+16=\left(4-b^2\right)\left(4-c^2\right)\\ \Leftrightarrow a=\dfrac{-bc+\sqrt{\left(4-b^2\right)\left(4-c^2\right)}}{2}\le\dfrac{-bc+\dfrac{4-b^2+4-c^2}{2}}{2}=\dfrac{8-\left(b+c\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow a+b+c\le\dfrac{8-\left(b+c\right)^2}{4}+b+c=\dfrac{8-\left(b+c\right)^2+4\left(b+c\right)}{4}=\dfrac{12-\left(b+c-2\right)^2}{4}\le3\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{a^3}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{\sqrt{a^3}.\sqrt{a}}=2a$

$\sqrt{b^3}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\sqrt{b^3}.\sqrt{b}}=2b$

Cộng hai BĐT trên ta có:

$\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2(a+b)$

$\Rightarrow B+\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 4(1)$

Áp dụng tiếp BĐT AM-GM:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq (a+b)(1+1)=2.2=4\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq 2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow B\geq 4-2=2$

Vậy $B_{\min}=2$.