Đề bài sai, tổng OA+OB chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất

Do d cắt 2 trục, gọi pt d có dạng: \(y=ax+b\) (\(a\ne0\))

d đi qua M nên:  \(4a+b=1\Rightarrow b=-4a+1\Rightarrow y=ax-4a+1\)

Hoành độ A là nghiệm: \(ax_A-4a+1=0\Rightarrow x_A=\dfrac{4a-1}{a}\)

Tung độ B là nghiệm: \(y_A=a.0-4a+1=-4a+1\)

Do A; B nằm trên các tia Ox, Oy \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4a-1}{a}>0\\-4a+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a< 0\)

Khi đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}OA=x_A=\dfrac{4a-1}{a}\\OB=y_A=-4a+1\end{matrix}\right.\)

\(S=OA+OB=\dfrac{4a-1}{a}-4a+1=5+\left(-4a+\dfrac{1}{-a}\right)\ge5+2\sqrt{\dfrac{-4a}{-a}}=9\)

\(S_{min}=9\) khi \(-4a=\dfrac{1}{-a}\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}\)

Phương trình d: \(y=-\dfrac{1}{2}x+3\)

Lời giải:

Vì ĐT cần tìm đi qua $M(1,4)$ nên PTĐT có dạng:

$a(x-1)+b(y-4)=0\Leftrightarrow ax+by-(a+4b)=0(d)$ với $a^2+b^2\neq 0$

$A\in Ox\Rightarrow y_A=0$

$A\in (d)\Rightarrow ax_A+by_A-(a+4b)=0$

$\Leftrightarrow ax_A-(a+4b)=0\Rightarrow x_A=\frac{a+4b}{a}$

$B\in Oy\Rightarrow x_B=0$

$B\in (d)\Rightarrow ax_B+by_B-(a+4b)=0$

$\Leftrightarrow by_B-(a+4b)=0\Rightarrow y_B=\frac{a+4b}{b}$

Diện tích tam giác $ABC$:

$\frac{OB.OA}{2}=\frac{|y_B|.|x_A|}{2}=|\frac{(a+4b)^2}{ab}|\geq |\frac{(2\sqrt{4ab})^2}{ab}|=16$

Vậy $S_{OAB}$ min $=16$. Giá trị này đạt tại $a=4b$

Thay vào PTĐT $(d)$:

$4bx+by-(4b+4b)=0$

$\Leftrightarrow b(4x+y-8)=0$. Do $a=4b$ và $a^2+b^2\neq 0$ nên $b\neq 0$

$\Rightarrow 4x+y-8=0$

Đây chính là PTĐT cần tìm.

Chọn đáp án C.

Gọi `A(a;0) in Ox` và `B(0;b) in Oy`

`AB` nhỏ nhất `<=>M` là trung điểm `AB`

    `=>{(x_M=[x_A+x_B]/2),(y_M=[y_A+y_B]/2):}`

`<=>{(27=a/2),(1=b/2):}`

`<=>{(a=54),(b=2):}`

    `=>A(54;0) ; B(0;2)`

Có:`\vec{AB}=(-54;2) - ` là vtcp của `d`

   `=>` Vtpt của `d` là: `\vec{n}=(1;27)`

   Mà `B(0;2) in d`

`=>` Ptr `d` là: `1(x-0)+27(y-2)=0`

                   `<=>x+27y-54=0`

Do d qua M nên pt có dạng: \(y=kx-2k+4\)

Tọa độ A: \(A\left(\dfrac{2k-4}{k};0\right)\) , tọa độ B: \(B\left(0;-2k+4\right)\)

Để A và B nằm trên tia Ox, Oy \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2k-4}{k}>0\\-2k+4>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow k< 0\)

Khi đó:

\(T=OA+OB=\dfrac{2k-4}{k}+\left(-2k+4\right)=6+2\left(-k+\dfrac{2}{-k}\right)\ge6+4\sqrt{\left(-k\right)\left(\dfrac{2}{-k}\right)}=6+4\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(-k=\dfrac{2}{-k}\Leftrightarrow k=-\sqrt{2}\)

Phương trình d: \(k=-\sqrt{2}x+4+2\sqrt{2}\)