Question

Đường thẳng d qua M (4; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tổng OA + OB nhỏ nhất. Viết phương trình đường thẳng d

 

Answer 1

Do d cắt 2 trục, gọi pt d có dạng: \(y=ax+b\) (\(a\ne0\))

d đi qua M nên:  \(4a+b=1\Rightarrow b=-4a+1\Rightarrow y=ax-4a+1\)

Hoành độ A là nghiệm: \(ax_A-4a+1=0\Rightarrow x_A=\dfrac{4a-1}{a}\)

Tung độ B là nghiệm: \(y_A=a.0-4a+1=-4a+1\)

Do A; B nằm trên các tia Ox, Oy \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4a-1}{a}>0\\-4a+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a< 0\)

Khi đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}OA=x_A=\dfrac{4a-1}{a}\\OB=y_A=-4a+1\end{matrix}\right.\)

\(S=OA+OB=\dfrac{4a-1}{a}-4a+1=5+\left(-4a+\dfrac{1}{-a}\right)\ge5+2\sqrt{\dfrac{-4a}{-a}}=9\)

\(S_{min}=9\) khi \(-4a=\dfrac{1}{-a}\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}\)

Phương trình d: \(y=-\dfrac{1}{2}x+3\)