Đặt x=a+b+c(x>3)

Ta có \(\left(x-6\right)^2\ge0\)(dấu '=' xảy ra khi x=6 hay a+b+c=6)\(\Leftrightarrow x^2-12x+36\ge0\Leftrightarrow x^2\ge12x-36\Leftrightarrow x^2\ge12\left(x-3\right)\Leftrightarrow\frac{x^2}{x-3}\ge12\)(1)

Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)(dấu '=' xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\))

Ta có \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{x^2}{x-3}\)(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\)(đpcm)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b-1}=\frac{b}{c-1}=\frac{c}{a-1}\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

với a,b,c là các số lớn hơn 1 . áp dugj bđt Cô-si ta có :

\(\frac{a^2}{b+1}+4\left(b-1\right)>=4a\)

cmtt: => đpcm 

áp dụng bất đẳng thức côsi 

\(\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}\cdot4\left(b-1\right)}=4a\)

\(\frac{b^2}{c-1}+4\left(c-1\right)\ge4b\)

\(\frac{c^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge4c\)

cộng vế theo vế

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}+4\left(a-1\right)+4\left(b-1\right)+4\left(c-1\right)\ge4a+4b+4c\)

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge4\left(a+b+c\right)-4\left(a+b+c\right)+4\cdot3=12\)(đpcm)

Cách khác:

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)-3}\)

Đặt \(a+b+c=x>3\)

Ta cần chứng minh

\(\frac{x^2}{x-3}\ge12\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-6\right)^2}{x-3}\ge0\)(đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ta có: \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\)

Vậy ta chỉ cần chứng minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\ge12\) với \(a;b;c>1\)

Thật vậy, do \(a;b;c>1\Rightarrow a+b+c-3>0\) biến đổi tương đương ta có:

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge12\left(a+b+c-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-12\left(a+b+c\right)+36\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-6\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{b}\) BĐT Cô-si

Tương tự suy ra đpcm

Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)

\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)

Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\);  \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)

Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Bài 1: 

Ta có: \(P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+\frac{y^2}{4}}\)

Đặt \(\left(x;\frac{y}{2}\right)=\left(a;b\right)\left(a,b>0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\\ab\ge1\end{cases}}\)

Ta có: \(P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\)

\(\ge\frac{1}{ab+a^2}+\frac{1}{ab+b^2}+2ab=\frac{1}{ab}+2ab\)

\(=\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+ab\ge2+1=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(ab=\frac{1}{ab}\Rightarrow ab=1\Rightarrow xy=2\)

Bài 3: 

Đặt \(\left(a-1;b-1;c-1\right)=\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>1\right)\)

Khi đó:

\(BĐTCCM\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\ge12\)

Thật vậy vì ta có:

\(VT=\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\)

\(=\frac{x^2+2x+1}{y}+\frac{y^2+2y+1}{z}+\frac{z^2+2z+1}{x}\)

\(=\left(\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\right)+\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{z}\cdot\frac{2z}{x}}+6\sqrt[6]{\frac{x^2}{y}\cdot\frac{y^2}{z}\cdot\frac{z^2}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}}=6+6=12\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)

Bài 5:

a) Đặt \(A=x^2+x+6=m^2\left(m\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+23=4m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2m\right)^2=-23\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2m+1\right)\left(2x+2m+1\right)=-23=1\cdot\left(-23\right)=\left(-1\right)\cdot23\)

Xét bảng sau: 

Vậy \(x\in\left\{5;-6\right\}\)

\(\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge4a\) ; \(\frac{b^2}{c-1}+4\left(c-1\right)\ge4b\); \(\frac{c^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge4c\)

Cộng vế với vế, chuyển vế và rút gọn ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Giúp mình với