Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
phantuananh

cho a;b;c là các số lớn hơn 1.chứng minh \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\)

tran nguyen bao quan
4 tháng 5 2019 lúc 16:19

Đặt x=a+b+c(x>3)

Ta có \(\left(x-6\right)^2\ge0\)(dấu '=' xảy ra khi x=6 hay a+b+c=6)\(\Leftrightarrow x^2-12x+36\ge0\Leftrightarrow x^2\ge12x-36\Leftrightarrow x^2\ge12\left(x-3\right)\Leftrightarrow\frac{x^2}{x-3}\ge12\)(1)

Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)(dấu '=' xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\))

Ta có \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{x^2}{x-3}\)(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\)(đpcm)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b-1}=\frac{b}{c-1}=\frac{c}{a-1}\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c=2\)


Các câu hỏi tương tự
Đặng Minh Hiếu
Xem chi tiết
Phạm Thúy Hường
Xem chi tiết
Vũ Thùy Linh
Xem chi tiết
tuấn minh trần
Xem chi tiết
ʚĭɞ Thị Quyên ʚĭɞ
Xem chi tiết
le vi dai
Xem chi tiết
Dun Trần Đông
Xem chi tiết
Đinh Tuấn Việt
Xem chi tiết
Tran VAN VY
Xem chi tiết