ĐKXĐ : x ≥ 1

<=> \(x^2\left(x-1\right)-x\sqrt{x-1}-2=0\)

Đặt \(x\sqrt{x-1}=t\)( t ≥ 0 )

pt <=> t² - t - 2 = 0

<=> ( t + 1 )( t - 2 ) = 0

<=> t = -1 (ktm) hoặc t = 2 (tm)

=> \(x\sqrt{x-1}=2\)

<=> x²( x - 1 ) = 4 ( bình phương hai vế )

<=> x³ - x² - 4 = 0

<=> x³ - 2x² + x² - 4 = 0

<=> x²( x - 2 ) + ( x - 2 )( x + 2 ) = 0

<=> ( x - 2 )( x² + x + 2 ) = 0

<=> x - 2 = 0 hoặc x² + x + 2 = 0

+) x - 2 = 0 <=> x = 2 (tm)

+) x² + x + 2 = 0

Δ = b² - 4ac = 1 - 8 = -7

Δ < 0 => vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm x = 2

a) Ta có : \(x=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}\)

\(\Rightarrow x^3=2a+3.\sqrt[3]{a^2-\left(\frac{a+1}{3}\right)^2\left(\frac{8a-1}{3}\right)}.x\)

\(=2a+3\sqrt[3]{a^2-\frac{\left(a^2+2a+1\right)\left(8a-1\right)}{27}}.x\)

\(=2a+3\sqrt[3]{\frac{27a^2-\left(8a^3+15a^2+6a-1\right)}{27}}.x\)

\(=2a+3\sqrt[3]{\frac{-8a^3+12a^2-6a+1}{27}}.x\)

\(=2a+3x.\sqrt[3]{\frac{\left(1-2a\right)^3}{3^3}}=2a+3x.\frac{1-2a}{3}=2a+x\left(1-2a\right)\)

\(\Rightarrow x^2-2a+x\left(2a-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow x^3-2a+2ax-x=0\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+2a\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+2a\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^2+x+2a=0\end{cases}}\)

Vì \(a>\frac{1}{8}\) nên \(x^2+x+2a>0\Rightarrow\)vô nghiệm.

Vậy x - 1 = 0  => x = 1 thoả mãn x là số nguyên dương.

b) \(\sqrt[3]{x+24}+\sqrt{12-x}=6\) (ĐKXĐ : \(x\le12\))

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x+24}=6-\sqrt{12-x}\Leftrightarrow x+24=\left(6-\sqrt{12-x}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x+24=6^3-3.6^2.\sqrt{12-x}+3.6.\left(12-x\right)-\left(\sqrt{12-x}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x+24=216-108\sqrt{12-x}+216-18x-\sqrt{12-x}^3\)

\(\Leftrightarrow-19\left(12-x\right)+108\sqrt{12-x}+\sqrt{12-x}^3-180=0\)

 Đặt \(y=\sqrt{12-x},y\ge0\) . Phương trình trên tương đương với : 

\(-19y^2+108y+y^3-180=0\Leftrightarrow\left(y-10\right)\left(y-6\right)\left(y-3\right)=0\)

=> y = 10 (TM) hoặc y = 6 (TM) hoặc y = 3 (TM)

Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{-88;-24;3\right\}\)

\(\sqrt{5x-x^2}+2x^2-10x+6=0\)

ĐKXĐ : \(0\le x\le5\)

<=> \(\sqrt{5x-x^2}-2\left(5x-x^2\right)+6=0\)

Đặt \(\sqrt{5x-x^2}=t\)( t ≥ 0 ) ta được phương trình :\(t-2t^2+6=0\)(*)

Δ = b² - 4ac = 1 + 48 = 49

Δ > 0 nên (*) có hai nghiệm phân biệt t₁ = -3/2 (ktm) ; t₂ = 2 (tm)

=> \(\sqrt{5x-x^2}=2\)

<=> 5x - x² = 4 ( bình phương hai vế )

<=> x² - 5x + 4 = 0 (1)

Dễ thấy (1) có a + b + c = 1 - 5 + 4 = 0 nên có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1 (tm) ; x₂ = c/a = 4 (tm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ = 1 ; x₂ = 4

a, Ta có : 

\(P=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}=\frac{2x+\sqrt{x}-4\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\)sử dụng tam thức bậc 2 khai triển biểu thức trên tử nhé 

\(=\frac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)-2\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2}=\frac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}=2\sqrt{x}+1\)

\(Q=\frac{\left(\sqrt{x}\right)^3-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+2}=x-1\)

b, Ta có : \(P=Q\)hay \(2\sqrt{x}+1=x-1\Leftrightarrow-x+2\sqrt{x}+2=0\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2-3=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}-1+\sqrt{3}\right)=0\)

TH1 : \(\sqrt{x}=1+\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\left(1+\sqrt{3}\right)^2=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}\)

TH2 : \(\sqrt{x}=1-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\left(1-\sqrt{3}\right)^2=1-2\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}\)

Vậy \(x=4+2\sqrt{3};x=4-2\sqrt{3}\)thì P = Q 

んuﾘ ｲ giải pt vô tỉ không xét ĐK là tai hại :))

 \(P=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}=\frac{2x-4\sqrt{x}+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2}=2\sqrt{x}+1\)

\(Q=\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{\left(x\sqrt{x}-\sqrt{x}\right)+\left(2x-2\right)}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+2}=\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+2}=x-1\)

Để P = Q thì \(2\sqrt{x}+1=x-1\)( x ≥ 1 ; x ≠ 4 )

<=> \(x-2\sqrt{x}-2=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2-3=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-1-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}-1+\sqrt{3}\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=1+\sqrt{3}\\x=1-\sqrt{3}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=4+2\sqrt{3}\left(tm\right)\\x=4-2\sqrt{3}\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy với \(x=4+2\sqrt{3}\)thì P = Q

a)

+) P=2x−3√x−2√x−2 

=(2√x+1)(√x−2)√x−2 

=2√x+1.

+) Q=√x3−√x+2x−2√x+2 

=(√x+2)(x−1)√x+2 

=x−1.

b) Để $P=Q$ thì 2√x+1=x−1

Coi phương trình là phương trình bậc 2 của $\sqrt{x}$, chú ý chọn nghiệm dương của phương trình.

Đáp số: x=4+2√3 thì $P=Q$.

 Câu hỏi thuộc chủ đề: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

o l m . v n

Bài 1:

a) \(A=\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{32}\)

\(=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}\)

\(=\sqrt{2}\)

b) \(B=\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{4-4\sqrt{5}+5}-\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{5}\)

\(=\left|2-\sqrt{5}\right|-\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}\)

\(=-2\)

Bài 2:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=4\\x+3y=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=6\\x+3y=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\2+3y=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\)

b) ĐKXĐ: \(x\ne\pm2\)

Với \(x\ne\pm2\), ta có:

\(\dfrac{10}{x^2-4}+\dfrac{1}{2-x}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{10}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{1}{x-2}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{10-x-2}{x^2-4}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{8-x}{x^2-4}=1\)

\(\Rightarrow x^2-4=8-x\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-12=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+4x-12=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-4\end{matrix}\right.\) (TM)

Vậy phương trình có tập nghiệm là: S ={3; -4}

Gọi số tấn than mỗi ngày đội thợ phải khai thác theo kế hoạch là: x(tấn). 0 < x <260

Số tấn than đã khai thác thực tế trong mỗi ngày là: x + 3 (tấn)

Số ngày mà đội thợ khai thác 260 tấn trong kế hoạch là: \(\dfrac{260}{x}\) (ngày)

Số ngày mà đội thợ khai thác 261 tấn thực tế là: \(\dfrac{261}{x+3}\) (ngày)

Vì trên thực tế, mỗi ngày đội đều khai thác vượt định mức 3 tấn, do đó họ đã khai thác được 261 tấn than và xong trước thời hạn một ngày nên ta có phương trình:

\(\dfrac{261}{x+3}+1=\dfrac{260}{x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{261+x+3}{x+3}=\dfrac{260}{x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{264+x}{x+3}=\dfrac{260}{x}\)

\(\Rightarrow260\left(x+3\right)=x\left(264+x\right)\)

\(\Leftrightarrow260x+780=264x+x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x-780=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-26x+30x-780=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-26\right)+30\left(x-26\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-26\right)\left(x+30\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-26=0\\x+30=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=26\left(TM\right)\\x=-30\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy số tấn than mỗi ngày đội thợ phải khai thác theo kế hoạch là: 26 tấn

4) Ta có: \(\left(x+3\right)\cdot\sqrt{10-x^2}=x^2-x-12\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\cdot\sqrt{10-x^2}-\left(x-4\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(\sqrt{10-x^2}-x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\\sqrt{10-x^2}=x-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\10-x^2=x^2-8x+16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x^2-8x+16-10+x^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\2x^2-8x+6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\2\left(x^2-4x+3\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

1/\(\sqrt{x-4}-\sqrt{1-x}=1\)

Để Pt dc xác định

Thì\(\left\{{}\begin{matrix}x-4\ge0\\1-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge4\\x\le1\end{matrix}\right.\)

Vì xét trên trục số ta thấy nó loại nhau

Nên Pt này vô nghiệm

1)ĐKXĐ: \(-4\le x\le1\)

\(\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=1\\ \Rightarrow\sqrt{x+4}=\sqrt{1-x}+1\\ \Rightarrow x+4=1-x+2\sqrt{1-x}+1\\ \Rightarrow2x+2=2\sqrt{1-x}\\ \Rightarrow x+1=\sqrt{1-x}\\ \Rightarrow x^2+2x+1=1-x\\ \Rightarrow x^2+3x=0\\ \Rightarrow x\left(x+3\right)=0\\ \Rightarrow x=-3\)

Vậy x = -3

2)ĐKXĐ: \(-\sqrt{10}\le x\le\sqrt{10}\)

Với x = -3 thì:

0=0(luôn đúng)

Với x khác -3 thì:

\(\left(x+3\right)\sqrt{10-x^2}=x^2-x+12\\ \Rightarrow\left(x+3\right)\sqrt{10-x^2}=\left(x+3\right)\left(x-4\right)\\ \Rightarrow\sqrt{10-x^2}=x-4\\ \Rightarrow10-x^2=x^2-8x+16\\ \Rightarrow2x^2-8x+6=0\\ \Rightarrow x^2-4x+3=0\\ \Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\\ \Rightarrow x\in\left\{1;3\right\}\)

Vậy x\(\in\left\{-3;1;3\right\}\)

Đặt \(t=\sqrt{10-x}+\sqrt{x-7}\) để làm gì vậy bạn? Đặt như vậy thì phương trình sẽ càng khó giải hơn á

Đk: \(-7\le x\le10\)

\(\sqrt{10-x}-\sqrt{x+7}+\sqrt{-x^2+3x+70}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{10-x}-\sqrt{x+7}+\sqrt{\left(10-x\right)\left(x+7\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{10-x}\left(\sqrt{x+7}+1\right)-\left(\sqrt{x+7} +1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+7}+1\right)\left(\sqrt{10-x}-1\right)=0\)

Dễ thấy \(\sqrt{x+7}+1>0\). Do đó:

\(\sqrt{10-x}-1=0\Leftrightarrow x=9\left(nhận\right)\)

Thử lại ta có x=9 là nghiệm duy nhất của pt đã cho.

`\sqrt{10-x}-\sqrt{x+7}+\sqrt{-x^2+3x+70}=1`     `ĐK: -7 <= x <= 10`

Đặt `\sqrt{10-x}-\sqrt{x+7}=t`

`<=>10-x+x+7-2\sqrt{(x+7)(10-x)}=t^2`

`<=>\sqrt{-x^2+3x+70}=17/2-[t^2]/2`

Khi đó ptr `(1)` có dạng: `t+17/2-[t^2]/2=1`

`<=>2t+17-t^2=2`

`<=>t^2-2t-15=0`

`<=>[(t=5),(t=-3):}`

`@t=5=>\sqrt{-x^2+3x+70}=17/2-5^2/2`

  `<=>\sqrt{-x^2+3x+70}=-4` (Vô lí)

`@t=-3=>\sqrt{-x^2+3x+70}=17/2-[(-3)^2]/2`

  `<=>-x^2+3x+70=16`

  `<=>[(x=9),(x=-6):}` (t/m)

Vậy `S={-6;9}`