b, \(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\ge1\)

\(\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac+2ac+2ab+2bc}\)( Bunhia dạng phân thức )

mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3+2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{9}{3+6}=1\)( đpcm ) 

1.

Điều kiện x \ge \dfrac14x≥41​.

Phương trình tương đương với \left(\sqrt2.\sqrt{2x^2+x+1}-2\right)-\left(\sqrt{4x-1}-1\right)+2x^2+3x-2 = 0(2​.2x2+x+1​−2)−(4x−1​−1)+2x2+3x−2=0 \Leftrightarrow \dfrac{4x^2+2x-2}{\sqrt2.\sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac{4x-2}{\sqrt{4x-1}+1} + (x+2)(2x-1) = 0⇔2​.2x2+x+1​+24x2+2x−2​−4x−1​+14x−2​+(x+2)(2x−1)=0\\ \Leftrightarrow (2x-1)\left(\dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2\right) = 0⇔(2x−1)(2​2x2+x+1​+22(x+1)​−4x−1​+12​+x+2)=0

\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x =\dfrac12\\ & \dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2 = 0\\ \end{aligned}\right.⇔⎣⎢⎢⎢⎡​​x=21​2​2x2+x+1​+22(x+1)​−4x−1​+12​+x+2=0​

Với x \ge \dfrac14x≥41​ ta có:

\dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} > 02​2x2+x+1​+22(x+1)​>0

- \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} \ge -2−4x−1​+12​≥−2

$x+2>2$.

Suy ra \dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2 > 02​2x2+x+1​+22(x+1)​−4x−1​+12​+x+2>0.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = \dfrac12.x=21​.

2.

Đặt P = \dfrac{a^3}{b+2c} + \dfrac{b^3}{c+2a} + \dfrac{c^3}{a+2b}P=b+2ca3​+c+2ab3​+a+2bc3​

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \dfrac{9a^3}{b + 2c}b+2c9a3​ và $(b+2c)a$ ta có

\dfrac{9a^3}{b+2c} + (b+2c)a \ge 6a^2b+2c9a3​+(b+2c)a≥6a2.

Tương tự \dfrac{9b^3}{c+2a} + (c+2a)b \ge 6b^2c+2a9b3​+(c+2a)b≥6b2, \dfrac{9c^3}{a+2b} + (a+2b)c \ge 6c^2a+2b9c3​+(a+2b)c≥6c2.

Cộng các vế ta có 9P + 3(ab+bc+ca) \ge 6(a^2+b^2+c^2)9P+3(ab+bc+ca)≥6(a2+b2+c2).

Mà a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca = 4a2+b2+c2≥ab+bc+ca=4 nên $P\ge 1$ (ta có đpcm).

1.

√2 × √(2x²+x+1)        +      √(4x-1) + 3x-3=0

⇌[√(4x²+2x+2)-2] - [√(4x-1)     -1] + (2x²+3x-2)=0

⇌(4x²+2x-2)/[√(4x²+2x+2)+2] - (4x-2)/[√(4x-1)+1] + (2x-1)(x+2) =0

⇔(2x-1) × [(2x+2)/√(4x²+2x+2+2) - 2/(√4x-1)+1+x+2]=0

Với x≥1/4 thì (2x+2)/(√4x²+2x+2+2)≥0 hoặc x+2>2 hoặc (√4x-1)+1≥1 ⇌ 2/[(√4x-1)+1]≤2

⇒(2x+2)/[(√4x²+2x+2)+2] - 2/[(x-1)+1]+x+2>0-2+2=0

⇌ 2x-1=0⇒x=1/2 

Vậy x=1/2

2.

Áp dụng bất đẳng thức ta có :

Vế trái = a⁴/(ab +2ac)    +   b⁴/(bc+2ab)  + c⁴/(ac+2bc)≥[(a² + b² +c²)²]/[3(ab+bc+ca) =[(a²+b²+c²)²]/9

Ấp dụng bất đẳng thức ta có :

ab+bc+ca≤a²+b²+c² 

Vế trái ≥ [(a²+b²+c²)]/9≥3²/9 =1

⇒ Vế trái ≥1 (đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Bạn xem lại đề câu b và c nhé !

a) \(\sqrt{x^2+2x+4}\ge x-2\) \(\left(ĐK:x\ge2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+4>x^2-4x+4\)

\(\Leftrightarrow6x>0\Leftrightarrow x>0\) kết hợp với ĐKXĐ

\(\Rightarrow x\ge2\) thỏa mãn đề.

d) \(x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\)

\(ĐKXĐ:x\ge2,y\ge3,z\ge5\)

Pt tương đương :

\(\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-4\sqrt{y-3}+4\right)+\left(z-5-6\sqrt{z-5}+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{z-5}=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=7\\z=14\end{cases}}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

e) \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\) (1)

\(ĐKXĐ:x\ge0,y\ge1,z\ge2\)

Phương trình (1) tương đương :

\(x+y+z-2\sqrt{x}-2\sqrt{y-1}-2\sqrt{z-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y-1}=1\\\sqrt{z-2}=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)( Thỏa mãn ĐKXĐ )

Ta có : \(a\sqrt{32\left(b^2+c^2\right)}=2.2a\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}\le4a^2+2\left(b^2+c^2\right)\)

\(\left(b+c\right)^2\le2\left(b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow12\le4\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Ngoài ra \(a\sqrt{\left(16+16\right)\left(b^2+b^2\right)}\ge a\left(4a+4b\right)\)

\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le3\)

\(VT=\frac{a^4}{ab+3a\sqrt{bc}}+\frac{b^4}{bc+3b\sqrt{ca}}+\frac{c^4}{ac+3c\sqrt{ba}}\)

\(\ge\frac{a^4}{ab+\frac{3}{2}\left(a^2+bc\right)}+\frac{b^4}{bc+\frac{3}{2}\left(b^2+ac\right)}+\frac{c^4}{ac+\frac{3}{2}\left(c^2+ab\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{5}{2}\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{15}{2}}\)

Xét VT \(\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\frac{9}{8}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{45}{8}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-3\right)+\left(a^2+b^2+c^2+\frac{15}{8}\right)\ge0\) ( luôn đúng với \(a^2+b^2+c^2\ge3\) )

\(\Rightarrowđpcm\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 1

2:

a: Sửa đề: \(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\)

\(A=\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\dfrac{a^2+2+1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\)

=>\(A>=2\cdot\sqrt{\sqrt{a^2+2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)

A=2 thì a^2+2=1

=>a^2=-1(loại)

=>A>2 với mọi a

b: \(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}< =\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\)

=>\(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}>=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)

=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>=0\)

=>(căn a+căn b)(a-2*căn ab+b)>=0

=>(căn a+căn b)(căn a-căn b)^2>=0(luôn đúng)

1

ĐK: `x>1`

PT trở thành:

\(\sqrt{\dfrac{2x-3}{x-1}}=2\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-3}{x-1}=2^2=4\\ \Leftrightarrow4x-4-2x+3=0\\ \Leftrightarrow2x-1=0\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(KTM\right)\)

Vậy PT vô nghiệm.

b

ĐK: \(x\ge2\)

Đặt \(t=\sqrt{x-2}\) (\(t\ge0\))

=> \(x=t^2+2\)

PT trở thành: \(t^2+2-5t+2=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-5t+4=0\)

nhẩm nghiệm: `a+b+c=0` (`1+(-5)+4=0`)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=1\left(nhận\right)\\t=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{x-2}=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\left(TM\right)\\x=18\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

a) \(\sqrt {11{x^2} - 14x - 12}  = \sqrt {3{x^2} + 4x - 7} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 11{x^2} - 14x - 12 = 3{x^2} + 4x - 7\\ \Rightarrow 8{x^2} - 18x - 5 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - \frac{1}{4}\) và \(x = \frac{5}{2}\)

Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {11{x^2} - 14x - 12}  = \sqrt {3{x^2} + 4x - 7} \) ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \frac{5}{2}\) thảo mãn phương trình

Vậy nhiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{5}{2}\)

b) \(\sqrt {{x^2} + x - 42}  = \sqrt {2x - 30} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + x - 42 = 2x - 3\\ \Rightarrow {x^2} - x - 12 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - 3\) và \(x = 4\)

Thay vào phương trình \(\sqrt {{x^2} + x - 42}  = \sqrt {2x - 30} \)  ta thấy  không có nghiệm nào thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

c) \(2\sqrt {{x^2} - x - 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 5} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4.\left( {{x^2} - x - 1} \right) = {x^2} + 2x + 5\\ \Rightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - 1\) và \(x = 3\)

Thay hai nghiệm trên vào phương trình \(2\sqrt {{x^2} - x - 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 5} \) ta thấy cả hai nghiệm đếu thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình \(2\sqrt {{x^2} - x - 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 5} \) là \(x =  - 1\) và \(x = 3\)

d) \(3\sqrt {{x^2} + x - 1}  - \sqrt {7{x^2} + 2x - 5}  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3\sqrt {{x^2} + x - 1}  = \sqrt {7{x^2} + 2x - 5} \\ \Rightarrow 9.\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 7{x^2} + 2x - 5\\ \Rightarrow 2{x^2} + 7x - 4 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - 4\) và \(x = \frac{1}{2}\)

Thay hai nghiệm trên vào phương trình \(3\sqrt {{x^2} + x - 1}  - \sqrt {7{x^2} + 2x - 5}  = 0\) ta thấy chỉ có nghiệm \(x =  - 4\) thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình trên là \(x =  - 4\)