Do \(\left\{{}\begin{matrix}0\le a;b;c\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)\le0\\b\left(b-1\right)\le0\\c\left(c-1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{a^2+a^2+a+1}+\sqrt{b^2+b^2+b+1}+\sqrt{c^2+c^2+c+1}\)

\(P\le\sqrt{a+a^2+a+1}+\sqrt{b+b^2+b+1}+\sqrt{c+c^2+c+1}\)

\(P\le a+1+b+1+c+1=4\)

\(P_{max}=4\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị

1a)\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{1}{4}\)(1)

Lại có:\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)

1b)\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{1}{6}\)(2)

Lại có:\(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\dfrac{1}{6}\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)

2b)Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(bđt phụ)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{4^2}{3}=\dfrac{16}{3}\)

\(\Rightarrow MAXA=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((2a+b+c)^2=\frac{8}{9}(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{9}+a^2+2a(a+b+c)\)

\(\geq \frac{8}{9}(a+b+c)^2+\frac{2}{3}a(a+b+c)+2a(a+b+c)=\frac{8(a+b+c)^2}{9}+\frac{8a(a+b+c)}{3}\)

Do đó \(\frac{1}{(2a+b+c)^2}\leq \frac{9}{8(a+b+c)(4a+b+c)}\). Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow P\leq \frac{9}{8}.\frac{1}{a+b+c} \left(\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{4b+a+c}+\frac{1}{4c+a+b} \right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{4a+b+c}\leq \frac{1}{36}\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{36}\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) cùng với những phân thức tương tự

\(\frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{9}\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Suy ra \(P\leq \frac{1}{8}\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\frac{1}{36}\left (\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\right)\)

Mặt khác theo hệ quả của BĐT AM-GM:

\(3=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 3\)

Suy ra \(P\leq \frac{3}{16}\). Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Cho vô box Toán 7

sory mk moi len lop sau thoi nen ko biet lam

+) chứng minh 1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ac+a+1=1

<=> abc/ab+b+abc + abc/bc+c+abc + 1/ac+a+1

<=> ac/ac+a+1 + ab/b+1+ab + 1/ac+a+1

<=> ac+a+1/ac+a+1

<=> 1

+) xét: a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2 >= 2ab+2b+2<=1/2(ab+b+1) (1)

chứng minh tương tự:1/ b^2+2c^2+3 <= 1/2(bc+c+1) (2)

                                    1/ c^2+2a^2+3 <= 1/2(ac+a+1) (3)

cộng các vế của (1),(2),(3) ta duoc: 1/(a^2+2b^2+3) + 1/(b^2+2c^2+3) + 1/(c62+2a^2+3) <= 1/2.(1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ac+a+1)=1/2 (đpcm)

mình làm rồi, bạn vào đây tham khảo nha: http://olm.vn/hoi-dap/question/559729.html

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

<=>  \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)

<=>  \(ab+bc+ca=0\)

=>  \(ab+bc=-ca\)

<=>  \(\left(ab+bc\right)^3=-ca^3\)

Ta co:   \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=a^3b^3+b^3c^3-\left(ab+bc\right)^3=a^3b^3+b^3c^3-ab^3-bc^3-3ab.bc\left(ab+bc\right)\)

\(=-3ab.bc\left(ab+bc\right)=-3ab.bc.\left(-ca\right)=3a^2b^2c^2\)

\(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}=\frac{b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3}{abc}=\frac{3a^2b^2c^2}{abc}=3abc\)

h

Mình đã sửa đề cho bạn

Bạn có thể tham khảo lời giải tại link sau:

Câu hỏi của ank viet - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Đề bài : Cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\left(a,b,c\ne0\right)\)và  \(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}\)

Chứng minh M=3abc.

Trước tiên, ta chứng minh bài toán phụ : Cho x+y+z=0 . Chứng minh \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Giải bài toán phụ như sau : Ta có : \(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\Rightarrow z^3=-\left[x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\right]\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)=-3xy\left(-z\right)\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Áp dụng vào bài đã cho, ta suy ra : \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Do đó : \(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}=\frac{a^2b^2c^2}{a^3}+\frac{a^2b^2c^2}{b^3}+\frac{a^2b^2c^2}{c^3}=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^2b^2c^2.\frac{3}{abc}=3abc\)Vậy \(M=3abc\)(đpcm)

Cảm ơn bạn nha :*

Không có chi :))

Chúc bạn học tốt ! ^.^