Ta thấy \(\left(2-2+1\right)\left(1-0+1\right)=2>0\Rightarrow A,B\) khác phía so với \(\Delta\)

Lấy B' đối xứng với B qua \(\Delta\)

BB' có phương trình \(2x+y+m=0\)

Do B thuộc đường thẳng BB' nên \(m=-2\Rightarrow BB':2x+y-2=0\)

B' có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow B'=\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

a, \(MA+MB=MA+MB'\ge AB'\)

\(min=AB'\Leftrightarrow M\) là giao điểm của AB' và \(\Delta\)

\(\Leftrightarrow...\)

b, \(\left|MA-MB\right|=\left|MA-MB'\right|\le AB'\)

\(max=AB'\Leftrightarrow M\) là giao điểm của AB' và \(\Delta\)

\(\Leftrightarrow...\)

- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .

- Thật vậy : \(\left|MA-MB\right|=\left|MA'-MB\right|=A'B\)

. Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó : \(\left|M'A-M'B\right|=\left|M'A'-M'B\right|\le A'B\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng, nghĩa là M trùng với M’. 

Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại N

Với \(M\in d\) thì ta có ΔMAB

Xét ΔMAB có |MA-MB|<AB

Nếu M trùng với N thì |MA-MB|=AB

=>Để |MA-MB| lớn nhất thì M trùng với N

Đề kiểu gì mà cho điểm A nằm ngay trên đường thẳng d như vậy nhỉ?

Theo BĐT tam giác ta có:

\(MA+MB\ge AB\)

Dấu "=" xảy ra khi M, A, B thẳng hàng, hay M là giao điểm của AB và d

Nhưng do A nằm trên d nên giao điểm của AB và d chính là A

Vậy M trùng A, hay M có tọa độ \(M\left(3;4\right)\)

//Ko cần tính toán bất kì 1 bước nào hết, chỉ cần lý luận là có kết quả. Chắc người ra đề ko để ý đến chuyện điểm A bất ngờ nằm trên d.

Ta có: \(\left|MA-MB\right|\ge0\) với một điểm M tùy ý.

\(\left|MA-MB\right|=0\) chỉ với điểm M mà MA = MB

=> M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. (Có giao điểm này vì AB không vuông góc với đường thẳng d)

Vậy, \(\left|MA-MB\right|\) đạt GTNN là 0 khi M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB.

???????

1/6 bóng vang bn nhé

Cách 1:

Do M thuộc d, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(2m-2;m\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2m-2;m-6\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(2m-4;m-5\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(T=MA+MB=\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(m-6\right)^2}+\sqrt{\left(2m-4\right)^2+\left(m-5\right)^2}\)

\(T=\sqrt{5m^2-20m+40}+\sqrt{5m^2-26m+41}\)

\(T=\sqrt{5\left(m-2\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{5\left(\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}\)

\(T\ge\sqrt{5\left(m-2+\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(2\sqrt{5}+\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}=\sqrt{53}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(6\left(m-2\right)=10\left(\dfrac{13}{5}-m\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{19}{8}\)

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)

Cách 2:

Thay tọa độ A và B vào pt (d) được 2 giá trị cùng dấu âm \(\Rightarrow A;B\) nằm cùng phía so với (d)

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc với d \(\Rightarrow\) pt d' có dạng:

\(2\left(x-0\right)+1\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow2x+y-6=0\)

Gọi C là giao điểm của d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y+2=0\\2x+y-6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(2;2\right)\)

Gọi D là điểm đối xứng với A qua d \(\Leftrightarrow C\) là trung điểm AD \(\Rightarrow D\left(4;-2\right)\)

Phương trình BD có dạng: \(7\left(x-2\right)+2\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow7x+2y-24=0\)

\(MA+MB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của BD

\(\Rightarrow\) Tọa độ M thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}7x+2y-24=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)