a/ Dễ dàng chứng minh được OA chính là đường trung bình của hình thang HBCK, suy ra A là trung điểm HK => A chính là tâm của đường tròn đường kính HK.

Để chứng minh đường tròn đường kính HK tiếp xúc với BC, ta sẽ chứng minh BC chính là tiếp tuyến của đường tròn (A) tại M hay AM = AK.

Vì HK là tiếp tuyến của (O) tại A nên : \(\widehat{CAK}=\frac{1}{2}\text{sđcungAC}=\widehat{ABC}\left(1\right)\)

Mặt khác, tam giác BAC vuông tại A vì cạnh huyền BC là đường kính của đường tròn (O) . Ta dễ dàng suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{CAM}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat{CAK}=\widehat{CAM}\)

Xét hai tam giác vuông CAM và tam giác vuông CAK có CA là cạnh chung , góc CAM = góc CAK nên \(\Delta CAK=\Delta CAM\left(ch.gn\right)\Rightarrow AK=AM\)

Từ đó suy ra đpcm.

b/ Vì BHKC là hình thang nên \(S_{BHKC}=\frac{\left(BH+CK\right).HK}{2}=OA.HK\)

Từ câu a) ta chứng minh được \(AK=AM\) nên \(HK=2AK=2AM\le2OA\) (hằng số)

=>\(S_{BHKC}\le OA.2OA=2OA^2=2\left(\frac{BC}{2}\right)^2=\frac{BC^2}{2}\) . Dấu "=" xảy ra khi A là điểm chính giữa cung BC.

Vậy ...............................

c/ Đề sai , bởi vì góc MAO có đơn vị độ, còn vế bên phải lại là một tỉ số .

c) Là \(\tan\widehat{MAO}\) nha mink nhầm

@Hoàng Lê Bảo Ngọc

má cũng có lúc chịu thua nhỉ :V:V

a) Ta có: \(\angle OAC+\angle ODC=90+90=180\Rightarrow OACD\) nội tiếp

b) Xét \(\Delta CDE\) và \(\Delta CBD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CDE=\angle CBD\\\angle BCDchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CDE\sim\Delta CBD\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CD}\Rightarrow CD^2=CB.CE\)

c) BC cắt DF tại G.BD cắt AC tại H

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=90\Rightarrow\Delta ADH\) vuông tại D

có \(CA=CD\) (CA,CD là tiếp tuyến) \(\Rightarrow\) C là trung điểm AH

Vì \(DF\parallel AH\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{GF}{AC}=\dfrac{BG}{BC}\\\dfrac{GD}{CH}=\dfrac{BG}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{GF}{AC}=\dfrac{GD}{CH}\)

mà \(CA=CH\Rightarrow GF=GD\Rightarrow\) đpcm

a: Điểm M ở đâu vậy bạn?

b: góc ONP=góc ONB+góc PNB

góc ANB=1/2*sđ cung AB=90 độ

=>BN vuông góc AK

=>BN//KC

=>góc ABN=góc ACK

=>góc ONB=góc ACK

Xét ΔKBC có

KP vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔKBC cân tại K

=>góc BKP=góc CKP

góc ONP=góc ONB+góc BNP

=góc ONB+góc BKP

=góc ONB+góc CKP

=góc OBN+góc NAB=90 độ

=>NP là tiếp tuyến của (O)

b: góc ONP=góc ONB+góc PNB

góc ANB=1/2*sđ cung AB=90 độ

=>BN vuông góc AK

=>BN//KC

=>góc ABN=góc ACK

=>góc ONB=góc ACK

Xét ΔKBC có

KP vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔKBC cân tại K

=>góc BKP=góc CKP

góc ONP=góc ONB+góc BNP

=góc ONB+góc BKP

=góc ONB+góc CKP

=góc OBN+góc NAB=90 độ

=>NP là tiếp tuyến của (O)

a: KNBP nội tiếp

=>góc PNK=góc PBK; góc PKN=180 độ-góc NBP

=>góc PNK=góc PCK

=>góc PNK=góc AKP

180 độ-góc NBP=góc ABN

=>180 độ-góc NBP=góc AKP

=>góc PNK=góc PKN

=>PK=PN