Áp dụng bđt Cauchy, ta có : \(\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}=2a\)

tương tự : \(\frac{b^2}{c}+c\ge2b\) ; \(\frac{c^2}{a}+a\ge2a\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

 \(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c\)(đpcm)

cái này lớp 10 mà

Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\) được : 

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)

Có \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\)

<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^3+b^3}{2}\le0\)

<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\le0\)

<=> \(\frac{a+b}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{2}-a^2+ab-b^2\right)\le0\)

<=>\(\frac{a+b}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{2a^2-2ab+b^2}{2}\right)\le0\)

<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2-2a^2+2ab-2b^2}{2}\le0\)

<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{-\left(a^2-2ab+b^2\right)}{2}\le0\)

<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{-\left(a-b\right)^2}{2}\le0\)

<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b \(\ge\)0)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a,b\ge0\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\)

a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)

Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)

b. 

\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)

\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)

- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)

Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)

\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)

- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)

Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)

\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)

Áp dụng BĐT Schur:

\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)

\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))

tích đi rồi ta làm

Nếu \(x_o\)là nghiệm của phương trình đã cho thì \(x_o\ne0\)và

\(x_o^4+ax_o^3+bx_o^2+ax_o+1=0\)

Chia 2 vế cho \(x_o^2\), ta được : 

\(\left(x_o^2+\frac{1}{x_o^2}\right)+a\left(x_o+\frac{1}{x_o}\right)+b=0\)(I) 

Đặt \(t=x_o+\frac{1}{x_o}\); \(\left|t\right|=\left|x_o+\frac{1}{x_o}\right|=\left|x_o\right|+\left|\frac{1}{x_o}\right|\ge2\)

Từ (I) , => \(t^2+at+b-2=0\Rightarrow t^2=-at-b+2\)

Áp dụng BĐT B.C.S ta được : 

\(t^4=\left[at+\left(b-2\right)\right]^2\le\left[a^2+\left(b-2\right)^2\right]\left(t^2+1\right)\)

\(\Rightarrow a^2+\left(b-2\right)^2\ge\frac{t^4}{t^2+1}\)

Mà \(\frac{t^4}{t^2+1}\ge\frac{t^4}{t^2+\frac{t^2}{4}}=\frac{4t^4}{5t^2}=\frac{4}{5}t^2\ge\frac{16}{5}\left(\text{vì}:t^2\ge4\right)\)

Vậy ...... 

@Pain Thiên Đạo : t đỵt cần m` lm nx  

theo BĐT cô - si ta có :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) \(\left(a\ge0,b\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\)\(a+b+a+b\ge2\sqrt{ab}+a+b\)

\(\Leftrightarrow\)\(2a+2b\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{4}\cdot2\cdot\left(a+b\right)\ge\frac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) \(\left(đpcm\right)\)

Biến đổi tương đương đi

BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\Leftrightarrow\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{4}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b

P/s: em ko chắc..

hình như sai đề phải ko các bạn