Ta có : \(cosF=sinE\Rightarrow3cos^2F=3sin^2E\)

Nên giả thiết trở thành :

\(\dfrac{3}{2}cos^2E+3sin^2E=2\)

\(\Leftrightarrow3cos^2E+6sin^2E=4\)

Mặt khác ta lại có : \(cos^2E+sin^2E=1\)

Từ đó ta tính được : \(cosE=\sqrt{\dfrac{2}{3}},sinE=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Từ đây ấn máy tính dễ dàng tình được các góc lần lượt :

\(\widehat{E}=35,26^o;\widehat{F}=54,74^o\)

\(E+F=90^0\Rightarrow cosF=sinE\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}cos^2E+3sin^2E=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}\left(cos^2E+sin^2E\right)+\dfrac{3}{2}sin^2E=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}sin^2E=2\)

\(\Leftrightarrow sinE=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow E\approx35^016'\)

\(\widehat{D}=32^0\)

bằng 32 độ

Góc D =  32 độ

Chúc bạn học tốt ^^ !!!

Ta có: \(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180^o\)

\(\Rightarrow2\widehat{F}+2\widehat{F}+\widehat{F}=180^o\)

\(\Rightarrow5\widehat{F}=180^o\Rightarrow\widehat{F}=36^o\)

\(\widehat{E}=\widehat{D}=2\widehat{F}=36^o.2=72^o\)

a: ΔDEF vuông tại D

=>\(DE^2+DF^2=EF^2\)

=>\(EF^2=0,9^2+12^2=144,81\)

=>\(EF=\sqrt{144,81}\)(cm)

Xét ΔDEF vuông tại D có \(tanE=\dfrac{DF}{DE}\)

=>\(tanE=\dfrac{12}{0,9}=\dfrac{120}{9}=\dfrac{40}{3}\)

b: Xét ΔDEF vuông tại D có

\(sinF=\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{0.9}{\sqrt{144,81}}\)

\(cosF=\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{12}{\sqrt{144,81}}\)

\(tanF=\dfrac{0.9}{12}=\dfrac{9}{120}=\dfrac{3}{40}\)

\(cotF=\dfrac{12}{0.9}=\dfrac{40}{3}\)

a: \(\widehat{E}=35^0\)

Xét ΔDEF có \(\widehat{E}< \widehat{F}< \widehat{D}\)

nên FD<DE<EF

b: Xét ΔEDH vuông tại D và ΔEKH vuông tại K có

EH chung

\(\widehat{DEH}=\widehat{KEH}\)

Do đó: ΔEDH=ΔEKH

Suy ra: HD=HK

hay ΔHDK cân tại H

a: ˆE=350E^=350

Xét ΔDEF có ˆE<ˆF<ˆDE^<F^<D^

nên FD<DE<EF

b: Xét ΔEDH vuông tại D và ΔEKH vuông tại K có

EH chung

ˆDEH=ˆKEHDEH^=KEH^

Do đó: ΔEDH=ΔEKH

Suy ra: HD=HK

\(a,\) Áp dụng Pytago \(EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=25\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(\left\{{}\begin{matrix}DE^2=EH\cdot EF\\DF^2=FH\cdot EF\\DH^2=FH\cdot EH\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EH=\dfrac{DE^2}{EF}=9\left(cm\right)\\FH=\dfrac{DF^2}{EF}=16\left(cm\right)\\DH=\sqrt{9\cdot16}=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(b,\sin\widehat{E}=\cos\widehat{F}=\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{4}{5}\approx\left\{{}\begin{matrix}\sin53^0\\\cos37^0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\widehat{E}\approx53^0;\widehat{F}\approx37^0\)

a) Vì \(\Delta DEF\) cân tại D (gt).

\(\Rightarrow\widehat{E}=\widehat{F}\) (Tính chất tam giác cân).

Mà \(\widehat{E}=50^o\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{D}=180^o-\widehat{E}-\widehat{F}=80^o.\)

b) DO là phân giác \(\widehat{D}\) (gt).

\(\Rightarrow\widehat{EDO}\) \(=\) \(\dfrac{\widehat{D}}{2}\) \(=\) \(\dfrac{80^o}{\text{2}}\) \(=40^o.\)

c) Xét \(\Delta DEF\) cân tại D:

DO là phân giác \(\widehat{D}\) (gt).

\(\Rightarrow\) DO là trung tuyến (Tính chất tam giác cân).

\(\Rightarrow\) O là trung điểm của EF.

d) Xét \(\Delta DEF\) cân tại D:

DO là phân giác \(\widehat{D}\) (gt).

\(\Rightarrow\) DO là đường cao (Tính chất tam giác cân).

\(\Rightarrow\) DO vuông góc với EF.

Vì `\triangle DEF` cân tại `D=>\hat{E}=\hat{F}=x^o`

Xét `\triangle DEF` có: `\hat{D}=180^o -\hat{E}-\hat{F}`

    `=>\hat{D}=180^o -x-x=180^o -2x`

Từ D Hạ đường cao DF' , DE' lần lượt lên AB; AC

=> Có: \(DE'\le DE;DF'\le DF\) với mọi vị trí D, E, F

=> \(S_{DEF}\le S_{DE'F'}\)

"=" xảy ra <=> E trùng E'; F trùng F'

AE'F'D là hình chữ nhật ( tự chứng minh )

Đặt: AF' = x; AE'=y

Có: \(AB=a;BC=2a=2.AB\)=> \(\Delta\)ABC vuông tại A có: \(\widehat{ACB}=30^o\)=> \(AC=a\sqrt{3}\)

=> \(BF'=a-x\); \(CE'=a\sqrt{3}-y\)

Dễ thấy:  \(\Delta BF'D\approx\Delta DE'C\approx\Delta BAC\)

=> \(BD=2.\left(a-x\right)\); \(DC=\frac{\left(a\sqrt{3}-y\right)}{\sqrt{3}}.2\)

mà BD +DC =BC =2a

=> \(2\left(a-x\right)+\left(a-\frac{y}{\sqrt{3}}\right).2=2a\)

=> \(x+\frac{y}{\sqrt{3}}=a\)

Có diện tích DEF nhỏ nhất <=> D'E'F' nhỏ nhất <=> E'F' nhỏ nhất

=> \(E'F'^2=x^2+y^2=\frac{3}{4}\left(1^2+\frac{1}{3}\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{3}{4}\left(x+\frac{y}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{3}{4}.a^2=\frac{3}{4}a^2\)

=> \(E'F'\ge\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=y\sqrt{3}\\x+\frac{y}{\sqrt{3}}=a\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}a\\y=\frac{\sqrt{3}}{4}a\end{cases}}\)

=> Vậy vị trí : E cách A khoảng \(\frac{\sqrt{3}}{4}a\); F cách A khoảng \(\frac{3}{4}a\); D cách B khoảng \(2\left(a-\frac{3}{4}a\right)=\frac{a}{2}\)

=> \(S_{\Delta DEF}=\frac{1}{2}DE.DF=\frac{1}{2}AE.AF=\frac{1}{2}x.y=\frac{1}{2}.\frac{3a}{4}.\frac{\sqrt{3}a}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{32}a^2\)

kết bạn