Câu 1: \(S\le P\)

Điều kiện  x ≥ 1 x 2 − x y 2 + 1 ≥ 0 kết hợp với phương trình (1), ta có y>0

Từ (1) ta có:

4 x + 1 − x y y 2 + 4 = 0 ⇔ 4 x + 1 = x y y 2 + 4 ⇔ 16 x + 1 = x 2 y 2 y 2 + 4 ⇔ y 4 + 4 y 2 x 2 − 16 x − 16 = 0

Giải phương trình theo ẩn x ta được  x = 4 y 2 hoặc  x = − 4 y 2 + 4 < 0 (loại)

Với  x = 4 y 2 ⇔ x y 2 = 4  thế vào phương trình (2), ta được  x 2 − 3 + 3 x − 1 = 4

Điều kiện  x ≥ 3 ta có

x 2 − 3 + 3 x − 1 = 4 ⇔ x 2 − 3 − 1 + 3 x − 1 − 1 = 0 ⇔ x 2 − 4 x 2 − 3 + 1 + 3 x − 2 x − 1 + 1 = 0 ⇔ x − 2 x + 2 x 2 − 3 + 1 + 3 x − 1 + 1 = 0 ⇔ x − 2 = 0   ( v ì   x + 2 x 2 − 3 + 1 + 3 x − 1 + 1 > 0 ) ⇔ x = 2.

Với x= 2 ta có  y 2 = 2 y > 0 ⇔ y = 2  

Kết hợp với điều  kiện trên, hệ phương trình có nghiệm  2 ; 2

đây là hằng đẳng thức số 7 nhá bn

(x - 2y) (4x² + 2xy + y²) = x³ - 8y³

\((x-2y)(4x^2+2xy+y^2 \\ =(x-2y)[(2x^2)+2x.y+y^2] \\ =x^3-(2y)^3 \\ =x^3-8y^3\)

x 3 + x y 2 − 10 y = 0 x 2 + 6 y 2 = 10 < = > x 3 + x y 2 − ( x 2 + 6 y 2 ) y = 0    (1) x 2 + 6 y 2 = 10                        (2)

Từ phương trình (1) ta có:

x 3 + x y 2 − ( x 2 + 6 y 2 ) y = 0 < = > x 3 + x y 2 − x 2 y − 6 y 3 = 0 < = > x 3 − 2 x 2 y + x 2 y − 2 x y 2 + 3 x y 2 − 6 y 3 = 0 < = > ( x − 2 y ) ( x 2 + x y + 3 y 2 ) = 0 < = > x = 2 y x 2 + x y + 3 y 2 = 0

+ Trường hợp 1:  x 2 + x y + 3 y 2 = 0 < = > ( x + y 2 ) 2 + 11 y 2 4 = 0 = > x = y = 0

Với x= y = 0 không thỏa mãn phương trình (2).

+ Trường hợp 2: x= 2y thay vào phương trình (2) ta có: 

4 y 2 + 8 y 2 = 12 < = > y 2 = 1 < = > y = 1 = > x = 2 y = − 1 = > x = − 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  ( x ; y ) ∈ { ( 2 ; 1 ) ; ( − 2 ; − 1 ) }

1. Tuy nhà nghèo nhưng Bảo học rất chăm chỉ.

2. Trời càng mưa, đường càng trơn.

Đặt một câu ghép dùng quan hệ từ và một câu ghép dùng cặp từ hô ứng:

1. Vì mải chơi quên làm bài tập, nên em đã bị cô la.

2. Gió thổi càng mạnh, cây xanh ven đường càng rung lắc dữ dội.

lx

a) x³ - 2x² + x - xy²

= x (x² - 2x + 1 - y²)

= x [(x - 1)² - y² ]

= x (x - 1 + y)(x - 1 - y)

b) x³ - 4x² - 12x + 27

= ( x³ + 3³) - (4x² + 12x)

= (x + 3)(x² - 3x + 9) - 4x(x + 3)

= (x + 3)(x² - 3x + 9 - 4x)

= (x + 3)(x² - 7x + 9)

c) 5x³ - 20x

= 5x(x² - 4)

= 5x(x - 2)(x + 2)

d) x² + 2xy - 4 + y²

= ( x + y)² - 2²

= ( x + y + 2)(x + y - 2)

1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)