a) Ta có: \(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)\)

\(=\left(2m-2\right)^2+4m\)

\(=4m^2-8m+4+4m\)

\(=4m^2-4m+4\)

\(=4m^2-4m+1+3\)

\(=\left(2m-1\right)^2+3>0\forall x\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm x1,x2 với mọi m(Đpcm)

b) Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1\cdot x_2=-m\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(y_1+y_2=x_1+\dfrac{1}{x_2}+x_2+\dfrac{1}{x_1}\)

\(=\left(x_1+x_2\right)+\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)\)

\(=\left(2m-2\right)+\dfrac{2m-2}{-m}\)

\(=2m-2-\dfrac{2m-2}{m}\)

\(=\dfrac{2m^2-2m-2m+2}{m}\)

\(=\dfrac{2m^2-4m+2}{m}\)

\(=\dfrac{2\left(m^2-2m+1\right)}{m}\)

\(=\dfrac{2\left(m-1\right)^2}{m}\)

Ta có: \(y_1y_2=\left(x_1+\dfrac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\dfrac{1}{x_1}\right)\)

\(=x_1x_2+2+\dfrac{1}{x_1x_2}\)

\(=-m+2+\dfrac{1}{-m}\)

\(=-m+2-\dfrac{1}{m}\)

\(=\dfrac{-m^2}{m}+\dfrac{2m}{m}-\dfrac{1}{m}\)

\(=\dfrac{-m^2+2m-1}{m}\)

\(=\dfrac{-\left(m-1\right)^2}{m}\)

Phương trình đó sẽ là:

\(x^2-\dfrac{2\left(m-1\right)^2}{m}x-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m}=0\)

Δ=(m+2)^2-4*2m=(m-2)^2

Để PT có hai nghiệm pb thì m-2<>0

=>m<>2

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1x_2}{4}\)

=>\(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{x_1x_2}{4}\)

=>\(\dfrac{m+2}{2m}=\dfrac{2m}{4}=\dfrac{m}{2}\)

=>2m^2=2m+4

=>m^2-m-2=0

=>m=2(loại) hoặc m=-1

b) phương trình có 2 nghiệm  \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le1\)

Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)

Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)

Câu c:

a: Δ=(-2m)^2-4(m-2)

=4m^2-4m+8=(2m-1)^2+7>=7>0

=>PT luôn có hai nghiệm phân biệt

b: x1^2+x2^2-6x1x2

=(x1+x2)^2-8x1x2

=(2m)^2-8(m-2)

=4m^2-8m+16=(2m-2)^2+8>=8

=>24/(2m-2)^2+8<=3

=>M>=-3

Dấu = xảy ra khi m=1

a, Với m = -2 pt có dạng 

\(x^2+4x-5=0\)

ta có : a + b + c = 1 + 4 - 5 = 0 

nên pt có 2 nghiệm \(x=1;x=-5\)

b, delta' = m^2 - ( m^2 - 9 ) = 9 > 0 

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

Theo Vi et : x1 + x2 = 2m ; x1x2 = m^2 - 9

Ta có : x1^2 + x2^2(x1+x2) = 12

<=> x1^2 + 2x2^2m = 12 

đề có thiếu dấu ko bạn ? 

a: Thay m=-2 vào pt, ta được:

\(x^2-2\cdot\left(-2\right)\cdot x+\left(-2\right)^2-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(x-1\right)=0\)

=>x=-5 hoặc x=1

ko biết làm

hình như đề thiếu hả bạn

a)Có ac=-1<0

=>pt luôn có hai nghiệm trái dấu

b)Do x₁;x₂ là hai nghiệm của pt

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-mx_1-1=0\\x_2^2-mx_2-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-1=mx_1\\x_2^2-1=mx_2\end{matrix}\right.\)

=>\(P=\dfrac{mx_1+x_1}{x_1}-\dfrac{mx_2+x_2}{x_2}\)\(=m+1-\left(m+1\right)=0\)

a: Thay m=3 vào pt, ta được:

\(x^2-4x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=5\)

hay \(\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{5}+2\\x=-\sqrt{5}+2\end{matrix}\right.\)

b: \(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\left(-2m+5\right)\)

\(=16+8m-20=8m-4\)

Để phương trình có hai nghiệm thì 8m-4>=0

hay m>=1/2

Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2+3x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4^2-3\cdot4+3\left(-2m+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4-6m+15=0\)

=>-6m+19=0

hay m=19/6(nhận)

Ptr có: `a+b+c=1-2m+2+2m-3=0`

   `=>[(x=1),(x=c/a=2m-3):}`

`@TH1: x_1=1;x_2=2m-3`

  `=>\sqrt{1}=2\sqrt{2m-3}`

`<=>\sqrt{2m-3}=1/2`

`<=>2m-3=1/4`

`<=>m=13/8`

`@TH2:x_1=2m-3;x_2=1`

  `=>\sqrt{2m-3}=2\sqrt{1}`

`<=>2m-3=4`

`<=>m=7/2`