Ta có : \(y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}\Rightarrow y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)

Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đths trên \(\). Ta có : 

 PT d : \(y=\dfrac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_{0-1}}=\dfrac{-x}{\left(x_0-1\right)^2}+\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}\) 

K/C từ B(1;1) đến d : d(B;d) = \(\left|\dfrac{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+1-\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^4}+1}}\right|\)  

= \(\left|\dfrac{2\left(1-x_0\right)}{\left(x_0-1\right)^2}\right|:\dfrac{\sqrt{\left(x_0-1\right)^4+1}}{\left(x_0-1\right)^2}=\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{\left(1-x_0\right)^4+1}}\)   \(\le\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{2\left(1-x_0\right)^2}}=\sqrt{2}\)

" = " \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)

Suy ra : y = -x hoặc y = -x + 4 

\(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)

Giả sử \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến d:

\(y=-\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_0-1}\)

\(\Rightarrow x+\left(x_0-1\right)^2y-x_0^2=0\)

\(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|1+\left(x_0-1\right)^2-x_0^2\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2\left|x_0-1\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+\left(x_0-1\right)^2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}=\left(x_0-1\right)^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-x\\y=-x+4\end{matrix}\right.\)

Ta có y’ = -3x2 – 6x + 9

Gọi xo là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f’(xo) = -3xo2 – 6xo + 9

⇔ f’(xo) = -3(xo2 + 2xo + 1) + 12 = -3(xo + 1)2 + 12 ≤ 12

Từ đó suy ra maxf’(xo) = 12  tại xo = -1.

Với  xo = -1 ⇒ yo = -16, phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 12x - 4.

Chúc bn học tốt

\(y'=3x^2+6x-6\)

Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng đã cho nên có hệ số góc thỏa mãn:

\(k.\left(-\dfrac{1}{18}\right)=-1\Rightarrow k=18\)

\(\Rightarrow3x^2+6x-6=18\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\Rightarrow y=9\\x=-4\Rightarrow y=9\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=18\left(x-2\right)+9\\y=18\left(x+4\right)+9\end{matrix}\right.\)

a.

\(y'=\dfrac{\left(sinx+cosx\right)'}{2\sqrt{sinx+cosx}}=\dfrac{cosx-sinx}{2\sqrt{sinx+cosx}}\)

b.

\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)

Tiếp tuyến vuông góc với \(y=\dfrac{1}{4}x+5\) nên có hệ số góc thỏa mãn \(k.\left(\dfrac{1}{4}\right)=-1\Rightarrow k=-4\)

\(\Rightarrow\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}=-4\Rightarrow\left(x-1\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=-3\\x=2\Rightarrow y=5\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=-4x-3\\y=-4\left(x-2\right)+5\end{matrix}\right.\)

\(y'=8x^3-8x\)

a. Đường thẳng \(x-48y+1=0\) có hệ số góc \(\dfrac{1}{48}\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k=-48\)

\(\Rightarrow8x^3-8x=-48\Rightarrow x^3-x+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2x+3\right)=0\Rightarrow x=-2\)

\(y'\left(-2\right)=47\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=-48\left(x+2\right)+47\)

b. Gọi tiếp điểm có hoành độ \(x_0\) 

Phương trình tiếp tuyến: \(y=\left(8x_0^3-8x_0\right)\left(x-x_0\right)+2x^4_0-4x^2_0-1\) (1)

Do tiếp tuyến qua A:

\(\Rightarrow-3=\left(8x_0^3-8x_0\right)\left(1-x_0\right)+2x_0^4-4x^2_0-1\)

\(\Leftrightarrow3x_0^4-4x_0^3-2x_0^2+4x_0-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)^2\left(3x_0^2+2x_0-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=1\\x_0=-1\\x_0=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Có 3 tiếp tuyến thỏa mãn. Thay lần lượt các giá trị \(x_0\) bên trên vào (1) là được

\(y'=2x-4\)

a.

\(y'\left(-2\right)=2.\left(-2\right)-4=-8\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=-8\left(x+2\right)+15\Leftrightarrow y=-8x-1\)

b.

Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm

\(\Rightarrow x_0^2-4x_0+3=3\Rightarrow x_0^2-4x_0=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\Rightarrow y'\left(0\right)=-4\\x_0=4\Rightarrow y'\left(4\right)=4\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=-4\left(x-0\right)+3\\y=4\left(x-4\right)+3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow...\)

c.

Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm \(\Rightarrow y'\left(x_0\right)=k=4\)

\(\Rightarrow2x_0-4=4\Rightarrow x_0=4\)

\(\Rightarrow y\left(4\right)=3\)

Pttt: \(y=4\left(x-4\right)+3\Leftrightarrow y=4x-13\)

a:Sửa đề: y=x^3-3x^2+2

y'=3x^2-3*2x=3x^2-6x

y=2

=>x^3-3x^2=0

=>x=0 hoặc x=3

=>y'=0 hoặc y'=3*3^2-6*3=27-18=9

A(0;2); y'=0; y=2

Phương trình tiếp tuyến có dạng là;

y-2=0(x-0)

=>y=2

A(3;2); y'=9; y=2

Phương trình tiếp tuyến có dạng là:

y-2=9(x-3)

=>y=9x-27+2=9x-25

b: Tiếp tuyến tại M song song với y=6x+1

=>y'=6

=>3x^2-6x=6

=>x^2-2x=2

=>x=1+căn 3 hoặc x=1-căn 3

=>y=0 hoặc y=0

M(1+căn 3;0); y=0; y'=6

Phương trình tiếp tuyến là:

y-0=6(x-1-căn 3)=6x-6-6căn3

M(1-căn 3;0); y=0; y'=6

Phương trình tiếp tuyến là:

y-0=6(x-1+căn 3)

=>y=6x-6+6căn 3

Ta có: \(y'3x^2-3.2x=3x^2-6x\).

Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left(-1;4\right)\) có hệ số góc bằng:\(y'\left(-1\right)=3.\left(-1\right)^2-6.\left(-1\right)=9\).

\(\Rightarrow B\)