Ptdt đi qua M có dạng: \(y=y_0+k\left(x-x_0\right)\Leftrightarrow y=2+k\left(x-1\right)=kx-k+2\)

Vi dt do tiep xuc voi do thi

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3-2x^2+\left(m-1\right)x+2m=kx-k+2\left(1\right)\\3x^2-4x+m-1=k\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

The (2) vo (1)

\(x^3-2x^2+\left(m-1\right)x+2m=\left(3x^2-4x+m-1\right)x-3x^2+4x-m+1+2\)

\(\Leftrightarrow2x^3-5x^2+4x+3=3m\) (3)

Xet \(f\left(x\right)=2x^3-5x^2+4x+3\Rightarrow f'\left(x\right)=6x^2-10x+4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\x=1\end{matrix}\right.\)

Nhìn vô bbt, để (3) có 2 nghiệm pb (do có 2 tiếp tuyến) thì đường thẳng y=3m phải cắt đt tại 2 điểm\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3m=\dfrac{109}{27}\\3m=4\end{matrix}\right.\Rightarrow...\)

Ta có : \(y'=3x^2-2\left(m-1\right)x+3m+1\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm, ta có : \(x_0=1\Rightarrow y_0=3m+1,y'\left(1\right)=m+6\)

Phương trình tiếp tuyến tại M  : \(y=\left(m+6\right)\left(x-1\right)+3m+1\)

Tiếp tuyến đi qua A \(\Leftrightarrow-1=m+6+3m+1\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm

- Hàm số đã cho xác định với ∀x ∈ R.

- ta có:

- Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là:

   y = (m+ 6)(x – 1) + 3m + 1

- Tiếp tuyến này đi qua A(2; - 1) nên có:

- Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.

Chọn D.

Goi \(B\left(x_0;y_0\right)\) la tiep diem \(\Rightarrow x_0=1\Rightarrow y_0=3m\)

\(y'=3x^2-4x+3m\Rightarrow y'\left(1\right)=3-4+3m=3m-1\)

\(\Rightarrow pttt:y=\left(3m-1\right)\left(x-1\right)+3m\)

\(A\left(1;3\right)\in pttt\Rightarrow\left(3m-1\right)\left(1-1\right)+3m=3\Leftrightarrow3m=3\Leftrightarrow m=1\)

Ta có \(\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d

\(y'=3x^2-2\left(m+2\right)x+m-1\Rightarrow y'\left(1\right)=3-2m-4+m-1=-m-2\)

Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1. Suy ra phương trình của  \(\Delta\) có dạng \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)\)

Do đó \(\overrightarrow{n}=\left(m+2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của  \(\Delta\)

Theo đề bài ta có : \(\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\cos30^0\Rightarrow\frac{\left|\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

                         \(\Leftrightarrow\frac{\left|2\left(m+2\right)+1\right|}{\sqrt{5}\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

                         \(\Leftrightarrow m^2+20m+25=0\)

                         \(\Leftrightarrow m=-10\pm5\sqrt{3}\)

- Ta có : (d) : 2x – y – 3 = 0 ⇔ y = 2x - 3. Đường thẳng d có hệ số góc kd = 2 .

- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại điểm có hoành độ x = -1 là:

- Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên ta có:

Chọn D.