\(\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4\sqrt{x}}+\frac{4x\sqrt{x}+4\sqrt{x}}{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}-2=\frac{\left(-4x\sqrt{x}+4x^2+9x+22\sqrt{x}+9\right)^2}{\left(4x^2+9x+18\sqrt{x}+9\right)\left(4x\sqrt{x}+4\sqrt{x}\right)}\ge0\)

Đặt \(M=\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}\left(x>0\right)\Rightarrow M>0\)

Đặt \(y=\sqrt{x}>0\)ta có \(M=\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}=\frac{4y^4+9y^2+18y+9}{4y^3+4y^2}\)\(=\frac{3\left(4y^3+4y^2\right)+\left(4y^2-12y^3-3y^2+18y+9\right)}{4y^3+4y^2}=3+\frac{\left(2y^2-3y-3\right)^2}{4y^3+4y^2}\ge3\)

\(y>0\Rightarrow\hept{\begin{cases}4y^3+4y^2>0\\\left(2y^2-3y-3\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\frac{\left(2y-3y-3\right)^2}{4y^3+4y^2}\ge0}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow2y^2-3y-3=0\Leftrightarrow y=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\left(y>0\right)\)

\(\Rightarrow x=\left(\frac{3+\sqrt{33}}{4}\right)^2=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)

Khi đó \(A=M+\frac{1}{M}=\frac{8M}{9}+\left(\frac{M}{9}+\frac{1}{M}\right)\ge\frac{8\cdot3}{9}+2\sqrt{\frac{M}{9}\cdot\frac{1}{M}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}M=3\\\frac{M}{9}=\frac{1}{M}\end{cases}\Leftrightarrow M=3\Leftrightarrow x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)

ta có: \(4x^2+9x+18\sqrt{x}+9=4x^2+9\left(\sqrt{x}+1\right)^2\),\(4x\sqrt{x}+4x=4x\left(\sqrt{x}+1\right)\)
Đặt \(a=x,b=\sqrt{x}+1\)ta có:
\(A=\frac{4a^2+9b^2}{4ab}+\frac{4ab}{4a^2+9b^2}=t+\frac{1}{t},t=\frac{4a^2+9b^2}{4ab}\)
có \(\frac{4a^2+9b^2}{4ab}=t\Rightarrow4a^2-t.4ab+9b^2=0\Leftrightarrow4.\left(\frac{a}{b}\right)^2-4t.\frac{a}{b}+9=0,\)do a khác 0.
Đặt \(\frac{a}{b}=y\Rightarrow4y^2-t.4y+9=0\), \(\Delta=16t^2-36\ge0\Leftrightarrow t\ge\frac{3}{2}\left(t>0\right)\)
xét \(f\left(t\right)=t+\frac{1}{t}\left(t\ge\frac{3}{2}\right)\)
lấy \(\frac{3}{2}< t_1< t_2\)
\(\Rightarrow f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=\left(t_1-t_2\right)\left(\frac{t_1.t_2-1}{t_1.t_2}\right)< 0\)
suy ra với t càng tăng thì f(t) càng lớn vậy min \(f\left(t\right)=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{13}{6}\)
các em tự tìm x nhé.

bài này bạn áp dụng BĐT cô si cko 2 số dương là đc.

đáp án: Min A=  2

Phan Quỳnh Anh Cách của bạn không ổn đâu, với lại kết quả bạn chưa đúng ^^

a)

\(A=4x-x^2+3=-\left(x^2-4x-3\right)=-\left(x^2-4x+4\right)+7=-\left(x-2\right)^2+7\le7\)

Daaus = xayr ra khi: x = 2

b) \(B=4x^2-12x+15=4\left(x^2-3x+9\right)-21=4\left(x-3\right)^2-21\ge-21\)

Dấu = xảy ra khi x = 3

c) \(C=4x^2+2y^2-4xy-4y+1=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)-3=\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\ge-3\)

Dấu = xảy ra khi

2x = y và y = 2

=> x = 1 và y = 2

a) A = \(-x^2+4x+3=-\left(x-2\right)^2+7\le7\)

Dấu "=" <=> x = 2

b) \(4x^2-12x+15=\left(2x-3\right)^2+6\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=\dfrac{3}{2}\)

c) \(4x^2+2y^2-4xy-4y+1\)

= \(\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)-3\)

= \(\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\ge-3\)

Dấu "=" <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

dùng côsi ra = 1 chắc v

ê tuấn nếu cô-si thì mk nghĩ phải =2 chứ sao =1 được 

đề Nguyễn du

a) \(A=\sqrt{4x^2+4x+2}=\sqrt{4x^2+4x+1+1}=\sqrt{\left(2x+1\right)^2+1}\)

Vì \(\left(2x+1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2+1\ge1\forall x\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{1}=1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow2x+1=0\)\(\Leftrightarrow2x=-1\)\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy \(minA=1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

b) \(B=\sqrt{2x^2-4x+5+1}=\sqrt{2x^2-4x+2+3+1}=\sqrt{2\left(x^2-2x+1\right)+4}\)

\(=\sqrt{2\left(x-1\right)^2+4}\)

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2+4\ge4\forall x\)

\(\Rightarrow B\ge\sqrt{4}=2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-1=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(minB=2\Leftrightarrow x=1\)

Mơn bạn nha

\(\sqrt{4x^2+4x+8}\)= \(\sqrt{7+\left[\left(2x\right)^2+2×2×x+1\right]}\)

= \(\sqrt{7+\left(2x+1\right)^2}\)

Vậy GTNN là \(\sqrt{7}\)đạt được khi x = \(\frac{-1}{2}\)

=căn 4(x +1/2)² -1/4 +8 = \(\sqrt{\frac{31}{4}}\)

có thể giải thích rõ hơn cho mình không

\(B=4x^2+4x+11\)

\(B=\left(2x+2\right)^2+7\)

\(\left(2x+2\right)^2\ge0\Rightarrow B\ge7\)

Dau "="    xảy ra khi 2x + 2 =0

<=> 2x = -2

<=> x = -1

 Vậy Min B = 7 khi x =-1

\(B=4x^2+4x+11=4\left(x^2+x+\frac{11}{4}\right)\)

                                       \(=4\left(x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{10}{4}\right)\)

                                         \(=4\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+10\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\Rightarrow4\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

Suy ra \(4\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+10\ge10\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy B_Min = 10 khi x = -1/2

\(B=4x^2+4x+11=4x^2+4x+1+10\)

\(=\left(4x^2+4x+1\right)+10\)

\(=\left(2x+1\right)^2+10\)

\(\left(2x+1\right)^2+10\ge10\forall x\)

Hay: \(B\ge10\forall x\)

Dấu = xảy ra khi: \(\left(2x+1\right)^2=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

=.= hok tốt!!

tính mẫu số trước nhé

đặt dấu - ra ngoài

= -[(4x^2+4x)-3]

đặt 4 ra nữa nhé

= -[4(x^2+x)-3)]

phân tích (x^2+x) theo công thức (a+b)^2

= -[4(x+1/2)^2-13/4)] 

bỏ dấu trừ ra 

= -4(x+1/2)^2 + 13/4

nhận xét :

(x+1/2)^2> hoặc =0

=> -4(x+1/2)^2 < hoặc = 0

=> -4(x+1/2)^2 -+13/4 < hoặc = 13/4

=> A > hoặc = 3/(13/4) = 12/13 ( vì đây là mẫu số nên chia sẽ đổi dấu lại)

=> Min A = 12/13 khi x = -1/2

Ta có: 4x²-4x-9 = (4x²-4x+1)-10 = (2x-1)²-10 ≥ -10

Dấu "=" xảy ra ⇔ x=1/2

\(4x^2-4x-9=\left(2x-1\right)^2-10\)

Vì \(\left(2x-1\right)^2\ge0\Rightarrow\left(2x-1\right)^2-10\ge10\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

4x²-4x - 9
= 4x² - 4x +1 - 10
= (2x -1)² - 10 lớn hơn hoặc bằng -10
GTNN của 4x²-4x - 9 xảy ra khi (2x -1)² = 0
                                                     2x-1 = 0
                                                     2x = 1
                                                       x=\(\dfrac{1}{2}\)

ĐKXĐ: x#0

Ta có: \(T=8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)

<=> \(T=\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+\left(4x^2-4x+1\right)+14\)

Áp dụng BĐT \(a+\frac{1}{a}\ge2\)cho số a thuộc N*,ta có:

\(T\ge2+\left(2x-1\right)^2+14\)

=> Min T=16 khi và chỉ khi \(x=\frac{1}{2}\)

\(8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(4x^2-2+\frac{1}{4x^2}\right)+15-1+2\)

\(=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(2x-\frac{1}{2x}\right)^2+16\ge16\)

Vậy GTNN là 16 đạt được khi x = \(\frac{1}{2}\)