Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}=\frac{e}{g}=\frac{a+b+c+d+e}{b+c+d+e+g}\)

=> \(\left(\frac{a}{b}\right)^{404}.\left(\frac{b}{c}\right)^{404}.\left(\frac{c}{d}\right)^{404}.\left(\frac{d}{e}\right)^{404}.\left(\frac{e}{g}\right)^{404}\)

\(=\left(\frac{a+b+c+d+e}{b+c+d+e+g}\right)^{404}.\left(\frac{a+b+c+d+e}{b+c+d+e+g}\right)^{404}.\left(\frac{a+b+c+d+e}{b+c+d+e+g}\right)^{404}.\left(\frac{a+b+c+d+e}{b+c+d+e+g}\right)^{404}.\left(\frac{a+b+c+d+e}{b+c+d+e+g}\right)^{404}\)

=> \(\left(\frac{abcde}{bcdeg}\right)^{404}=\left(\frac{a+b+c+d+e}{b+c+d+e+g}\right)^{404+404+404+404}\)

=> \(\frac{a^{404}}{g^{404}}=\left(\frac{a+b+c+d+e}{b+c+d+e+g}\right)^{2020}\)

if a<b,bcz of a^b=b^c so b>c c<d d>e e<f f>g g<a bcz of g<a and a<b so g<b (not possible)

Same with a>b ,so a=b.

Do again multiple time ,we get a=b=c=d=e=f so bcs f^g=g^a,so f^g=g^f so g=f.

So totally ,we get a=b=c=d=e=f=g.

a: Xét tứ giác ABNC có

M là trung điểm của AN

M là trung điểm của BC

Do đó:ABNC là hình bình hành

Suy ra: CN//AB

b: Xét ΔABC và ΔNCB có

AB=NC

BC chung

AC=NB

Do đó: ΔABC=ΔNCB

a,Ta có \(\Delta ABC\) cân ở góc A => góc ABC=góc ACB =\(\frac{180\left(độ\right)-BAC}{2}\)(1)

Ta có BD=CE(gt);AB=AC(gt)

mà AB+BD=AD và AC+CE=AE

=> AD=AE

=>\(\Delta ADE\) cân tại A ( Có hai góc bằng nhau)

=>góc ADE= góc AED=(180 độ - DAE) :2 (2)

Từ (1) và (2) => góc ABC= góc ADE=góc ACB=góc AED

mà góc ABC và góc ADE ở vị trí đồng vị

=>BC // DE(đpcm)

b)ta có góc ABC= góc MBD (đối đỉnh )

góc ACB= góc NCE( đối đỉnh )

mà Góc ABC=Góc ACB => góc MBD= góc NCE

Xét hai tam giác vuông \(\Delta BMD\) và \(\Delta CNE\)

có BD=CE (gt)

góc MBD= góc NCE (c/m trên)

=>\(\Delta BMD=\Delta CNE\)(Cạnh huyền - Góc nhọn)

=> DM=EN(Hai cạnh tương ứng)

c) Gọi giao điểm của AM và BI là E

giao điểm của AN và CI là F

Vì \(\Delta BMD=\Delta CNE\)( chứng minh trên ) =>BM=CN( Hai cạnh tương ứng)

Ta có : Góc ABC= Góc ACB ( gt)

mà Góc ABC + Góc ABM=180 độ ( kề bù)

và Góc ACB+góc ACN= 180 độ ( kề bù)

=>Góc ABM=góc ACN

Xét \(\Delta ABM\) VÀ \(\Delta ACN\) có:

AB=AC(gt)

Góc ABM=Góc ACN(cmt)

BM=CM ( cmt)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c-g-c\right)\)

=> Góc AMB=Góc ANC (hai góc tương ứng )

=> \(\Delta AMN\) Cân ở A ( có hai góc bằng nhau) (đpcm)

D,(hơi dài )

ta có tam giác AMN cân ở A=> AM=AN( hai cạnh bên) (3)

Xét hai tam giác vuông Tam giác EMB và tam giác FCN có:

Góc EMB=góc FNC (cmt)

MB=CN(cmt)

=> tam giác EMB= tam giác FNC ( cạnh huyền -góc nhọn)

=>EM=FN(hai cạnh tương ứng ) (4)

Ta có (3) (4) mà AE+EM=AM và AF+FN=AN

=> AE=AF

Xét hai tam giác vuông tam giác AEI và tam giác AFI có

AI cạnh chung

AE=AF(cmt)

=> tam giác AEI = Tam giác AFI (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=>Góc AIE=Góc AIF( góc tương ứng ) (10)

ta có góc EBM+MBD=góc EBD= góc ABI (đối đỉnh)(5)

góc FCN+NCE= Góc FCE= góc ACI( đối đỉnh )(6)

mà góc EBM= góc FCN (cmt)(7)

góc MDB=góc NCE(gt) (8)

từ (5)(6)(7)(8)=> góc ABI = góc ACI (9)

từ (9) (10)=> góc BAI=góc CAI ( tổng 3 góc của một tam giác ) (đpcm)

Câu 3:

Giả sử tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác :

\(\left\{{}\begin{matrix}OA+OB>AB\\OB+OC>BC\\OC+OD>CD\\OD+OA>DA\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\)

\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\frac{1}{2}ChuviABCD\)

\(\Rightarrow AC+BD>\frac{1}{2}ChuviABCD\) (1)

Có OA + OB + OC + OD = AC + BD

Theo bất đẳng thức tam giác có

AC < AB + BC ; AC < AD + DC

\(\Rightarrow\) 2 AC < Chu vi ABCD

BD < AB + AD ; BD < BC + CD

\(\Rightarrow\) 2 BD < chu vi ABCD

\(\Rightarrow\) 2 (BD + AC ) < 2 chu vi ABCD

\(\Rightarrow\) BD + CA < 2 chu vi ABCD (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Bài 3:

Chúc bạn học tốt!

Bài 1:

a) Sửa đề: chứng minh KA=KB

Xét \(\Delta\)KAO vuông tại A và \(\Delta\)KBO vuông tại B có

KO là cạnh chung

\(\widehat{AOK}=\widehat{BOK}\)(do OK là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\))

Do đó: \(\Delta\)KAO=\(\Delta\)KBO(cạnh huyền-góc nhọn)

Bài 2:

a) Xét tứ giác AEID có

\(\widehat{IEA}=90^0\)(do \(IE\perp AC\))

\(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0,E\in AC,D\in AB\))

\(\widehat{IDA}=90^0\)(do \(ID\perp AB\))

Do đó: AEID là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Hình chữ nhật AEID có đường chéo AI là tia phân giác của \(\widehat{EAD}\)(do AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC},E\in AC,D\in AB\))

nên AEID là hình vuông(dấu hiệu nhận biết hình vuông)

\(\Rightarrow\)AE=AD(đpcm)

b) Sửa đề: chứng minh BI vuông góc với HD

Xét \(\Delta\)HDB có HB=BD(gt)

nên \(\Delta\)HDB cân tại B(định nghĩa tam giác cân)

mà BI là đường phân giác ứng với cạnh HD

nên BI cũng là đường cao ứng với cạnh HD

\(\Rightarrow BI\perp HD\)(đpcm)

e) Áp dụng định lí pytago vào \(\Delta\)ABC vuông tại A, ta được

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10cm\)

Vậy: BC=10cm

Bài 3:

a) Xét \(\Delta\)CNM và \(\Delta\)CHM có

CN=CH(gt)

\(\widehat{NCM}=\widehat{HCM}\)(do tia CM là tia phân giác của \(\widehat{HCN}\))

CM chung

Do đó: \(\Delta\)CNM=\(\Delta\)CHM(c-g-c)