New (cách mới) : Đặt \(x=\frac{49-\sqrt{2401-4n}}{2}\) là số chính phương.

Mà \(\frac{49-\sqrt{2401-4n}}{2}\le\frac{49}{2}\), các số chính phương nhỏ hơn 49/2 là 0; 1; 4; 9; 16

+ Nếu x= 16 -> \(49-\sqrt{2401-4n}=\)32 => \(\sqrt{2401-4n}=\)17 (loại)

+ Nếu x= 9 -> \(49-\sqrt{2401-4n}=\)18 => \(\sqrt{2401-4n}=\)31 (loại)

+ Nếu x= 4 -> \(49-\sqrt{2401-4n}=\)8 => \(\sqrt{2401-4n}=\)41 (loại)

+ Nếu x= 1 -> \(49-\sqrt{2401-4n}=\)2 => \(\sqrt{2401-4n}=\)47 (loại)

+ Nếu x= 0 -> \(49-\sqrt{2401-4n}=\)0 => \(\sqrt{2401-4n}=\)49 => 2041 - 4n = 49² = 2041

=> 4n = 0 => n =0

 Thay n=0 vào biểu thức được kết quả là 7 nên n=0 để biểu thức có giá trị nguyên.

\(\sqrt{\frac{49+\sqrt{2401-4n}}{2}}+\sqrt{\frac{49-\sqrt{2401-4n}}{2}}\)

ĐK: 2401 - 4n ≥ 0 => n ≤ 600

Đặt x = \(\sqrt{2401-4n}\)

Để biểu thức có giá trị nguyên thì 2401-4n là số chính phương; (49+x)/2 và (49-x)/2 là số chính phương

=>(49² - x²)/4 là số chính phương

=>   (2401 - x²)/4 = (2401-2401+4n)/4 = n là số chính phương

Ta có: n=k² (k≥0)

=> 49² - (2k)² = (49-2k)(49+2k) là số chính phương.

Thay k từ 0 đến 24 (nếu k>24 thì 49-2k<0) chỉ có k=0 thỏa mãn để (49-2k)(49+2k) là số chính phương.  => n =0

Vậy n =0 để biểu thức có giá trị nguyên (=7)

----

Tới bước cuối ko nghĩ ra đc nữa nên mò :3

a: ĐKXĐ: x>=0; x<>25

Sửa đề: \(Q=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\dfrac{10\sqrt{x}}{x-25}-\dfrac{5}{\sqrt{x}+5}\)

\(=\dfrac{x+5\sqrt{x}-10\sqrt{x}-5\sqrt{x}+25}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}=\dfrac{x-10\sqrt{x}+25}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}\)

b: Q=-3/7

=>\(\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}=-\dfrac{3}{7}\)

=>7căn x-35=-3căn x-15

=>10căn x=20

=>x=4

c: Q nguyên

=>căn x+5-10 chia hết cho căn x+5

=>căn x+5 thuộc {5;10}

=>căn x thuộc {0;5}

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x=0

a) \(Q=\dfrac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-5}-\dfrac{10\sqrt[]{x}}{x-25}-\dfrac{5}{\sqrt[]{x}-5}\left(1\right)\)

Q có nghĩa \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x-25\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne25\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow Q=\dfrac{\sqrt[]{x}-5}{\sqrt[]{x}-5}-\dfrac{10\sqrt[]{x}}{x-25}\)

\(\Leftrightarrow Q=1-\dfrac{10\sqrt[]{x}}{x-25}\)

\(\Leftrightarrow Q=\dfrac{x+10\sqrt[]{x}-25}{x-25}\)

\(\Leftrightarrow Q=\dfrac{\left(\sqrt[]{x}-5\right)^2}{\left(\sqrt[]{x}-5\right)\left(\sqrt[]{x}+5\right)}=\dfrac{\sqrt[]{x}-5}{\sqrt[]{x}+5}\)

b) \(Q=-\dfrac{3}{7}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt[]{x}-5}{\sqrt[]{x}+5}=-\dfrac{3}{7}\)

\(\Leftrightarrow7\left(\sqrt[]{x}-5\right)=-3\left(\sqrt[]{x}+5\right)\)

\(\Leftrightarrow7\sqrt[]{x}-35=-3\sqrt[]{x}-15\)

\(\Leftrightarrow10\sqrt[]{x}=20\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{x}=2\Leftrightarrow x=4\)

c) \(Q\in Z\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt[]{x}-5}{\sqrt[]{x}+5}\in Z\) \(\left(x\in Z^+\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{x}-5⋮\sqrt[]{x}+5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{x}-5-\left(\sqrt[]{x}-5\right)⋮\sqrt[]{x}-5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{x}-5-\sqrt[]{x}-5⋮\sqrt[]{x}+5\)

\(\Leftrightarrow-10⋮\sqrt[]{x}+5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{x}+5\in U\left(10\right)=\left\{1;2;5;10\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{0;25\right\}\)

Bài 12: 

Để N là số nguyên thì \(\sqrt{x}+3⋮\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow-2⋮\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+5\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)(vô lý

Bài 11: 

Để M là số nguyên thì \(3\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4;8;-8\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{4;8\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{1;25\right\}\)

\(a,=\dfrac{\sqrt{x}-8+5}{\sqrt{x}-8}=1+\dfrac{5}{\sqrt{x}-8}\in Z\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}-8\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{3;7;9;13\right\}\\ \Leftrightarrow x\in\left\{9;49;81;169\right\}\left(tm\right)\\ b,=\dfrac{\sqrt{x}-2+7}{\sqrt{x}-2}=1+\dfrac{7}{\sqrt{x}-2}\in Z\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}-2\inƯ\left(7\right)=\left\{-1;1;7\right\}\left(\sqrt{x}-2>-2\right)\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{1;3;9\right\}\\ \Leftrightarrow x\in\left\{1;9;81\right\}\\ c,=\dfrac{2\left(\sqrt{x}+3\right)+2}{\sqrt{x}+3}=2+\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}\in Z\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}+3\inƯ\left(2\right)=\varnothing\left(\sqrt{x}+3>3\right)\\ \Leftrightarrow x\in\varnothing\)

Câu 2: 

2) Ta có: \(M=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9-x+9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{-x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

Câu 2 : 

Gọi : vận tốc của người đi chậm là : x (km/h) ( x > 0 ) 

Vận tốc của người đi nhanh : x + 4 (km/h) 

Vi : người đi chậm đến muộn hơn : 45 phút \(=\dfrac{3}{4}\left(h\right)\)

Khi đó : 

\(\dfrac{36}{x}-\dfrac{36}{x+4}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left[36\cdot\left(x+4\right)-36x\right]\cdot4=3x\cdot\left(x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^2+12x-144=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=12\left(n\right)\\x=16\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Câu 1: 

1) Thay x=16 vào N, ta được:

\(N=\dfrac{2\cdot\sqrt{16}+1}{3-\sqrt{16}}=\dfrac{2\cdot4+1}{3-4}=\dfrac{9}{-1}=-9\)

Vậy: Khi x=16 thì N=-9

a: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}\)

Khi x=25 thì \(A=\dfrac{5+2}{5+3}=\dfrac{7}{8}\)

b: \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{x+4}{4-x}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-6-x-4}{x-4}\)

\(=\dfrac{5\sqrt{x}-10}{x-4}=\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\)

c: \(A\cdot B=\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{5}{\sqrt{x}+3}\)

Để A*B>1 thì \(\dfrac{5}{\sqrt{x}+3}-1>0\)

=>\(\dfrac{5-\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}>0\)

=>\(2-\sqrt{x}>0\)

=>căn x<2

=>0<=x<4

tham khảo: Câu hỏi của Lê Thị Ngọc Duyên - Toán lớp 9 | Học trực tuyến