Tìm GTLN, GTNN
a. y= 1+ \(\sqrt{2cos^2x+1}\)
b. y= 1 + 3sin(2x - \(\frac{\pi}{4}\))
c. y= 3 - 2cos23x
d. y= 1 + \(\sqrt{2+sin2x}\)
e. y= \(\frac{4}{2+sin^{2^{ }}x}\)
Tìm GTLN và GTNN:
1.\(y=\sqrt{5-2cos^2x.sin^2x}\)
2.\(y=1+\dfrac{1}{2}sin2x.cos2x\)
3.\(y=\sqrt{1+sinx}-3\)
4.\(y=\sqrt{2+sin^22x}\)
1.
\(y=\sqrt{5-2\cos ^2x\sin ^2x}=\sqrt{5-\frac{1}{2}(2\cos x\sin x)^2}=\sqrt{5-\frac{1}{2}\sin ^22x}\)
Dễ thấy:
$\sin ^22x\geq 0\Rightarrow y=\sqrt{5-\frac{1}{2}\sin ^22x}\leq \sqrt{5}$
Vậy $y_{\max}=\sqrt{5}$
$\sin ^22x\leq 1\Rightarrow y=\sqrt{5-\frac{1}{2}\sin ^22x}\geq \sqrt{5-\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
Vậy $y_{\min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
2.
$y=1+\frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x=1+\frac{1}{4}.2\sin 2x\cos 2x$
$=1+\frac{1}{4}\sin 4x$
Vì $-1\leq \sin 4x\leq 1$
$\Rightarrow \frac{5}{4}\leq 1+\frac{1}{4}\sin 4x\leq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{5}{4}\leq y\leq \frac{3}{4}$
Vậy $y_{\max}=\frac{5}{4}; y_{\min}=\frac{3}{4}$
3.
$\sin x\geq -1\Rightarrow \sqrt{1+\sin x}\geq 0$
$\Rightarrow y\geq -3$
Vậy $y_{\min}=-3$
$\sin x\leq 1\Rightarrow \sqrt{1+\sin x}\leq \sqrt{2}$
$\Rightarrow y\leq \sqrt{2}-3$
Vậy $y_{\max}=\sqrt{2}-3$
Tìm GTLN GTNN của hàm số
a, y=3-2sin(x+pi/6)
b, y=2(sin⁴x+cos⁴x) +3
c, y=4sinx.cosx -1
d, y= 2sin.3x +1
e, y= 4-3sin².2x
a.
Do \(-1\le sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le1\Rightarrow1\le y\le5\)
\(y_{min}=1\) khi \(sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1\)
\(y_{max}=5\) khi \(sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-1\)
b.
\(y=2\left[\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x.cos^2x\right]+3\)
\(y=2-4sin^2x.cos^2x+3=5-sin^22x\)
Do \(0\le sin^22x\le1\Rightarrow4\le y\le5\)
\(y_{min}=4\) khi \(sin^22x=1\)
\(y_{max}=5\) khi \(sin^22x=0\)
c.
\(y=2sin2x-1\)
Do \(-1\le sin2x\le1\Rightarrow-3\le y\le1\)
\(y_{min}=-3\) khi \(sin2x=-1\)
\(y_{max}=1\) khi \(sin2x=1\)
d.
\(-1\le sin3x\le1\Rightarrow-1\le y\le3\)
e.
\(0\le sin^22x\le1\Rightarrow1\le y\le4\)
tìm GTLM,GTNN của hàm số sau:
a, \(y=cos^2x+2sinx+2\)
b, \(y=sin^4x-2cos^2x+1\)
c, \(y=4sin^2x+\sqrt{2}sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)
d, \(y=sin^6x+cos^6x\)
e, \(y=5sinx+6cosx-7\)
f, \(y=sinx+\sqrt{3}cosx+3\)
a/
\(y=1-sin^2x+2sinx+2=4-\left(sinx-1\right)^2\le4\)
\(y_{max}=4\) khi \(sinx=1\)
Mặt khác \(sinx\ge-1\Rightarrow\left(sinx-1\right)^2\le4\)
\(y_{min}=4-4=0\) khi \(sinx=-1\)
b/
\(y=sin^4x-2\left(1-sin^2x\right)+1=sin^4x+2sin^2x-1\)
Do \(0\le sin^2x\le1\)
\(\Rightarrow-1\le y\le2\)
\(y_{min}=-1\) khi \(sinx=0\)
\(y_{max}=2\) khi \(sin^2x=1\)
c/
\(y=2\left(1-cos2x\right)+sin2x+cos2x\)
\(=sin2x-cos2x+2=\sqrt{2}sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+2\)
Do \(-1\le sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\le1\)
\(\Rightarrow2-\sqrt{2}\le y\le2+\sqrt{2}\)
\(y_{min}=2-\sqrt{2}\) khi \(sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1\)
\(y_{max}=2+\sqrt{2}\) khi \(sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=1\)
d/
\(y=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)
\(=1-3sin^2x.cos^2x\)
\(=1-\frac{3}{4}sin^22x\)
Mà \(0\le sin^22x\le1\Rightarrow\frac{1}{4}\le y\le1\)
\(y_{min}=\frac{1}{4}\) khi \(sin^22x=1\)
\(y_{max}=1\) khi \(sin2x=0\)
e/
\(y=5sinx+6cosx-7\)
\(=\sqrt{61}\left(\frac{5}{\sqrt{61}}sinx+\frac{6}{\sqrt{61}}cosx\right)-7\)
\(=\sqrt{61}\left(sinx.cosa+cosx.sina\right)-7\) (với \(a\in\left(0;\pi\right)\) sao cho \(cosa=\frac{5}{\sqrt{61}}\))
\(=\sqrt{61}.sin\left(x+a\right)-7\)
Do \(-1\le sin\left(x+a\right)\le1\Rightarrow7-\sqrt{61}\le y\le7+\sqrt{61}\)
\(y_{min}=7-\sqrt{61}\) khi \(sin\left(x+a\right)=-1\)
\(y_{max}=7+\sqrt{61}\) khi \(sin\left(x+a\right)=1\)
f/
\(y=2\left(\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx\right)+3\)
\(=2sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+3\)
\(\Rightarrow1\le y\le5\)
\(y_{min}=1\) khi \(sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-1\)
\(y_{max}=5\) khi \(x+\frac{\pi}{3}=1\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) y=f(x)=\(\dfrac{4}{\sqrt{5-2cos^2xsin^2x}}\)
b)y=f(x)=\(3sin^2x+5cos^2x-4cos2x-2\)
c)y=f(x)=\(sin^6x+cos^6x+2\forall x\in\left[\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\)
Timg GTNN, GTLN của hàm số:
a) y= 4sin2 x + \(\sqrt{2}\) sin (\(2x+\frac{\pi}{4}\))
b) y= cos x ( 1+cos 2x)
c) y= sin2 x. cos x +cos2 x.sin x
Mọi người giúp tôi giải 2 hệ phương trình này với, khó quá làm mãi không ra, hu hu.
\(\begin{cases}2y^3+2x\sqrt{1-x}=\sqrt{1-x}-y\\2x^2+2xy\sqrt{1+x}=y+1\end{cases}\) Đáp án: (x; y)= (\(\cos\frac{3\pi}{10};\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{20}\)
\(\begin{cases}x^3-3x=\sqrt{y+3}\\x^3+2y^2+7\left(2x-y\right)=y^3+5\left(x^2+2\right)\end{cases}\) Đáp án: (x; y)= (2;1) ; (2cos 4pi/7 ; -1+2cos 4pi/7) ; (2cos 4pi/5 ; -1+2cos 4pi/5)
Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ( nếu có ) của hàm số sau :
6 , \(y=cos^2x+2sinx+2\)
7 , \(y=sin^4-2cos^2x+1\)
8 , \(y=\frac{1+4cos^2x}{3}\)
9 , \(y=\sqrt{1+sin2x}\)
10 , \(y=3-4sin^2x.cos^2x\)
12 , \(y=8+\frac{1}{2}sinx.cosx\)
13 \(y=\frac{1+4sin^2x}{3}\)
15 , \(y=\sqrt{1-sin\left(x^2\right)}-1\)
16 , \(y=2cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+3\)
17 , \(y=\sqrt{1-cosx}\)
19 , \(y=\sqrt{5-2sin^2xcos^2x}\)
21 , \(y=2sin^2x-cos2x\)
23 , \(y=\frac{2}{1+tan^2x}\)
24 , \(y=\frac{1}{cosx+1}\)
6.
\(y=1-sin^2x+2sinx+2=-sin^2x+2sinx+3\)
\(y=-\left(sinx-1\right)^2+4\le4\)
\(y_{max}=4\) khi \(sinx=1\)
\(y=\left(sinx+1\right)\left(3-sinx\right)\ge0\)
\(y_{min}=0\) khi \(sinx=-1\)
7.
\(y=sin^4x-2\left(1-sin^2x\right)+1=sin^4x+2sin^2x-1\)
Do \(0\le sin^2x\le1\Rightarrow-1\le y\le2\)
\(y_{min}=-1\) khi \(sin^2x=0\)
\(y_{max}=2\) khi \(sin^2x=1\)
8.
\(y=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}cos^2x\)
Do \(0\le cos^2x\le1\Rightarrow\frac{1}{3}\le y\le\frac{5}{3}\)
\(y_{min}=\frac{1}{3}\) khi \(cos^2x=0\)
\(y_{max}=\frac{5}{3}\) khi \(cos^2x=1\)
9.
\(-1\le sin2x\le1\Rightarrow0\le1+sin2x\le2\)
\(\Rightarrow0\le y\le\sqrt{2}\)
\(y_{min}=0\) khi \(sin2x=-1\)
\(y_{max}=\sqrt{2}\) khi \(sin2x=1\)
10.
\(y=3-\left(2sinx.cosx\right)^2=3-sin^22x\)
Do \(0\le sin^22x\le1\Rightarrow2\le y\le3\)
\(y_{min}=2\) khi \(sin^22x=1\)
\(y_{max}=3\) khi \(sin2x=0\)
12.
\(y=8+\frac{1}{4}\left(2sinx.cosx\right)=8+\frac{1}{4}sin2x\)
Do \(-1\le sin2x\le1\Rightarrow\frac{31}{4}\le y\le\frac{33}{4}\)
\(y_{min}=\frac{31}{4}\) khi \(sin2x=-1\)
\(y_{max}=\frac{33}{4}\) khi \(sin2x=1\)
13.
Về bản chất giống hệt câu 13, chỉ cần thay chữ sin bằng chữ cos
1. Tập giá trị của hs: y = sin2x + cos2x là?
2. Giải pt: \(\frac{cosx-2sinx.cosx}{2cos^2x+sinx-1}=\sqrt{3}\)
3. Tìm GTLN và GTNN của hs: \(y=\frac{sinx+2cosx+3}{2+cosx}\)
4. Tập giá trị của: \(y=\sqrt{3}cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}\)
5. Giải pt: \(\sqrt{3}\left(sin2x+cos7x\right)=sin7x-cos2x\)
6. Giải pt: \(cos5x.cosx=cos4x.cos2x+3cos^2x+1\)
7. Đồ thị hs: \(y=sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) đi qua điểm nào sau đây? \(a.M\left(\frac{\pi}{4};0\right)\) \(b.M\left(\frac{\pi}{2};1\right)\) \(c.M\left(\frac{-\pi}{4};0\right)\) d. M(1;1)
8. Nghiệm của pt: \(2sin^2x-3sinx+1=0\) thỏa đk: \(0\le x\le\frac{\pi}{2}\) là:
9. Cho pt: m(sinx+cosx)+sinx.cosx+1=0. Tìm m để pt có đúng 1 nghiệm thuộc: \(\left[\frac{-\pi}{2};0\right]\)
10. Giải pt: \(\sqrt{3}cos5x-sin5x=2cos3x\)
11. Tập giá trị của hs: y = cos2x + 4sinx - 2 là?
12. Pt: \(2cos^2x+5sinx=4\) có nghiệm âm lớn nhất =?
13. Tổng tất cả các nghiệm của pt: cos5x + cos2x + 2sin3x.sin2x = 0 trên đoạn: \(\left[0;2\pi\right]\) là?
14. Tìm m để pt: cos2x - (2m - 1)cosx - m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm thuộc: \(\left[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) là?
15. Đồ thị hs: y = tanx - 2 đi qua? a. O(0;0) b.M\(\left(\frac{\pi}{4};-1\right)\) c. \(N\left(1;\frac{\pi}{4}\right)\) d. \(P\left(\frac{-\pi}{4};1\right)\)
1.
\(y=\sqrt{2}sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\Rightarrow\) tập giá trị là \(\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)
2. ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}sinx\ne1\\sinx\ne-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\frac{cosx-sin2x}{cos2x+sinx}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow cosx-sin2x=\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}sinx\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x\)
\(\Leftrightarrow cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-\frac{\pi}{6}=x+\frac{\pi}{3}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{6}=-x-\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
3.
\(\Leftrightarrow2y+y.cosx=sinx+2cosx+3\)
\(\Leftrightarrow sinx+\left(2-y\right)cosx=2y-3\)
\(\Rightarrow1^2+\left(2-y\right)^2\ge\left(2y-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3y^2-8y+4\le0\)
\(\Rightarrow\frac{2}{3}\le y\le2\)
4.
\(y=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}cos\frac{x}{2}-\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}\right)=2cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\)
\(\Rightarrow-2\le y\le2\)
5.
\(\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x=\frac{1}{2}sin7x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos7x\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=sin\left(7x-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}7x-\frac{\pi}{3}=2x+\frac{\pi}{6}+k2\pi\\7x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}-2x+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
6.
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos4x=\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cos2x+1\)
\(\Leftrightarrow cos4x=4cos2x+5\)
\(\Leftrightarrow2cos^22x-1=4cos2x+5\)
\(\Leftrightarrow cos^22x-2cos2x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=-1\\cos2x=3>1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
7.
Thay lần lượt 4 đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn
8.
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\sinx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right\}\)
Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) \(y = 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 10\)
b) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
c) \(y = - 2x\sqrt x \)
d) \(y = 3\sin x + 4\cos x - \tan x\)
e) \(y = {4^x} + 2{e^x}\)
f) \(y = x\ln x\)
a: \(y'=4\cdot3x^2-3\cdot2x+2=12x^2-6x+2\)
b: \(y'=\dfrac{\left(x+1\right)'\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\left(x-1\right)'}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{x-1-x-1}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\)
c: \(y'=-2\cdot\left(\sqrt{x}\cdot x\right)'\)
\(=-2\cdot\left(\dfrac{x+x}{2\sqrt{x}}\right)=-2\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}=-2\sqrt{x}\)
d: \(y'=\left(3sinx+4cosx-tanx\right)\)'
\(=3cosx-4sinx+\dfrac{1}{cos^2x}\)
e: \(y'=\left(4^x+2e^x\right)'\)
\(=4^x\cdot ln4+2\cdot e^x\)
f: \(y'=\left(x\cdot lnx\right)'=lnx+1\)