\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+2-\left(3x^2-2x-1\right)m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-2x-2\right)-\left(x-1\right)\left(3mx+m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-\left(3m+2\right)x-m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2-\left(3m+2\right)x-m-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

(1) luôn có 2 nghiệm pb. Để pt có 3 nghiệm pb \(\Rightarrow1-\left(3m+2\right)-m-2\ne0\Rightarrow m\ne-\dfrac{3}{4}\)

TH1: \(x_3=1\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của (1)

\(\Rightarrow3m+2=2\Rightarrow m=0\) (thỏa mãn)

TH2: \(x_1=1\) và \(x_2;x_3\) là nghiệm của (1)

Kết hợp hệ thức Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=2x_3-1\\x_2+x_3=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2x_3-1\\x_3=m+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2m+1\\x_3=m+1\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_2x_3=-m-2\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)\left(m+1\right)=-m-2\)

\(\Rightarrow2m^2+4m+3=0\) (vô nghiệm)

Vậy \(m=0\)

Ptr có nghiệm `<=>\Delta' >= 0`

                       `<=>[-(m+1)^2]-6m+4 >= 0`

                      `<=>m^2+2m+1-6m+4 >= 0`

                      `<=>m^2-4m+5 >= 0<=>(m-2)^2+1 >= 0` (LĐ `AA m`)

`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2m+2),(x_1.x_2=c/a=6m-4):}`

Có:`(2m-2)x_1+x_2 ^2-4x_2=4`

`<=>(x_1+x_2-4)x_1+x_2 ^2-4x_2=4`

`<=>x_1 ^2+x_1 x_2 -4x_1+x_2 ^2-4x_2=4`

`<=>(x_1+x_2)^2-x_1x_2-4(x_1+x_2)=4`

`<=>(2m+2)^2-(6m-4)-4(2m+2)=4`

`<=>4m^2+8m+4-6m+4-8m-8=4`

`<=>4m^2-6m-4=0`

`<=>(2m-3/2)^2-25/4=0`

`<=>|2m-3/2|=5/2`

`<=>[(m=2),(m=-1/2):}`

PT có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\text{Δ}>0\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-4.\left(m+1\right)\left(m-1\right)>0\) 

\(\Leftrightarrow4m^2-4\left(m^2-1\right)>0\Leftrightarrow4>0\)(luôn đúng)

Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Viét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{2m}{m+1}\\x_1.x_2=\dfrac{m-1}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Mà theo GT thì ta có:

\(x_1^2+x_2^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{-2m}{m+1}\right)^2-2.\dfrac{m-1}{m+1}=5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4m^2}{\left(m+1\right)^2}-\dfrac{2\left(m-1\right)}{m+1}=5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{m+1}\left[\dfrac{4m^2}{m+1}-2\left(m-1\right)\right]=5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m^2+2}{m^2+2m+1}=5\)

\(\Leftrightarrow2m^2+2=5m^2+10m+5\)

\(\Leftrightarrow3m^2+10m+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{1}{3}\\m=-3\end{matrix}\right.\)

a: \(\text{Δ}=\left(4m-4\right)^2-4\left(-4m+10\right)\)

\(=16m^2-32m+16+16m-40\)

\(=16m^2-16m-24\)

\(=8\left(2m^2-2m-3\right)\)

Để pT có nghiệm kép thì \(2m^2-2m-3=0\)

hay \(m\in\left\{\dfrac{1+\sqrt{7}}{2};\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right\}\)

b: Thay x=2 vào PT, ta được:

\(4+8\left(m-1\right)-4m+10=0\)

=>8m-8-4m+14=0

=>4m+6=0

hay m=-3/2

Theo VI-et, ta được: \(x_1+x_2=-4\left(m-1\right)=-4\cdot\dfrac{-5}{2}=10\)

=>x₂=8

Pt trùng phương chỉ có các trường hợp

- Vô nghiệm

- Có 2 nghiệm phân biệt

- Có 4 nghiệm phân biệt

- Có 2 nghiệm kép

- Có 3 nghiệm (trong đó 2 nghiệm pb và 1 nghiệm kép \(x=0\))

Không tồn tại trường hợp có 3 nghiệm pb

\(x^4-2mx^2+\left(2m-1\right)=0\left(1\right)\)

Đặt \(t=x^2\), pt trở thành:

\(t^2-2mt+\left(2m-1\right)=0\left(2\right)\)

Để pt(1) có 3 nghiệm thì pt(2) có 1 nghiệm dương khác 0 và 1 nghiệm bằng 0

\(\Leftrightarrow2m-1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t^2-t=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=1\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy \(m=\dfrac{1}{2}\)