a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta \) là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {0 - 2 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 3\sqrt 2 \).

b) Ta có: \(\overrightarrow {{n_a}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng a là:

\(1\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {{u_a}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\).Từ đó suy ra \(\overrightarrow {{n_b}}  = \left( {1; - 1} \right)\). Phương trình đường thẳng b là:

\(1\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\)

a) Ta có: \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0\)

Vậy khoảng cách từ O đến \(\Delta \) là: \(d\left( {O;\Delta } \right) = \frac{{\left| {1.0 - 2.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)

b) Lấy \(M\left( {0;1} \right) \in {\Delta _1}\)

Suy ra: \(d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {0 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \)

a.

Gọi \(M\left(x;y\right)\in d\)

\(\Rightarrow d\left(M;\Delta\right)=3\Leftrightarrow\dfrac{\left|3x-4y+6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|3x-4y+6\right|=15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-4y+21=0\\3x-4y-9=0\end{matrix}\right.\)

b.

Giả sử đường thẳng (d2) có dạng \(a\left(x+2\right)+b\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow ax+by+2a-3b=0\) (1)

\(\dfrac{\left|3.a-4b\right|}{5\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow2\left(3a-4b\right)^2=25a^2+25b^2\)

\(\Leftrightarrow7a^2+48ab-7b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}7a=b\\a=-7b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;7\right);\left(7;-1\right)\)

\(\Rightarrow...\) (bạn tự thế vào (1) và rút gọn)

a) Trên đường thẳng \(\Delta \) lấy điểm \(B\) khác \(A\).

Kẻ \(AH \bot \Delta ',BK \bot \Delta '\left( {H,K \in \Delta '} \right)\)

\(ABKH\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AH = BK\)

\( \Rightarrow d\left( {A,\Delta '} \right) = d\left( {B,\Delta '} \right)\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta '\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(A\) trên đường thẳng \(\Delta \).

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

a: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d): y=ax+b(a<>0)

Vì (d)//y=3x+2 nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b\ne2\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d): y=3x+b

Thay x=1 và y=2 vào (d), ta được:

\(b+3\cdot1=2\)

=>b+3=2

=>b=-1

vậy: (d): y=3x-1

b: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d): y=ax+b(a<>0)
Vì (d) có tung độ gốc là 3 nên b=3

=>(d): y=ax+3

Thay x=-4 và y=7 vào (d), ta được:

\(-4a+3=7\)

=>-4a=4

=>a=-1

vậy: (d): y=-x+3

c: A(1;4); B(4;8)

=>\(AB=\sqrt{\left(4-1\right)^2+\left(8-4\right)^2}\)

=>\(AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\)

c: y=2x-6

=>2x-y-6=0

Khoảng cách từ A(-3;2) đến đường thẳng 2x-y-6=0 là;

\(d\left(A;2x-y-6=0\right)=\dfrac{\left|\left(-3\right)\cdot2+2\left(-1\right)-6\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{\left|-6-2-6\right|}{\sqrt{5}}=\dfrac{14}{\sqrt{5}}\)

Lời giải:

Vì PTĐT cần tìm song song với $(\Delta)$ nên nó có dạng:

$3x-4y+m=0$

Khoảng cách từ $M$ đến đt cần tìm là:

$\frac{|3.2-4.(-2)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$

$\Leftrightarrow |m+14|=10$

$\Rightarrow m=-4$ hoặc $m=-24$

Vậy PTĐT cần tìm là: $3x-4y-4=0$ hoặc $3x-4y-24=0$

Lấy \(A\left(2;2\right)\) là 1 điểm thuộc \(\Delta_1\)

\(d\left(\Delta_1;\Delta_2\right)=d\left(A;\Delta_2\right)=\dfrac{\left|5.2-7.2+6\right|}{\sqrt{5^2+\left(-7\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{74}}{37}\)

Ta có: \(\Delta//d\Rightarrow\Delta:2x-3y+c=0\left(c\ne-1\right)\)

\(A\left(1;2\right)\in\Delta:2\cdot1-3\cdot2+c=0\)

\(\Leftrightarrow c=4\)

Vậy: \(\Delta:2x-3y+4=0\)

Vì (Δ)//d nên Δ: 2x-3y+c=0

Thay x=1 và y=2 vào Δ, ta được:

c+2-6=0

=>c=4

a: Khi x=-2 thì (y+2)^2=25-(-2-1)^2=25-9=16

=>y=2 hoặc y=-6

TH1: A(-2;2)

I(1;-2)

vecto IA=(-3;4)

Phương trình Δ là:

-3(x-1)+4(y+2)=0

=>-3x+3+4y+8=0

=>-3x+4y+11=0

TH2: A(-2;-6); I(1;-2)

vecto IA=(-3;-4)=(3;4)

Phương trình IA là:

3(x+2)+4(y+6)=0

=>3x+6+4y+24=0

=>3x+4y+30=0

b: Δ//12x+5y+6=0

=>Δ: 12x+5y+c=0

d(I;Δ)=5

=>\(\dfrac{\left|12\cdot1+5\cdot\left(-2\right)+c\right|}{\sqrt{12^2+5^2}}=5\)

=>|c+2|=5*13=65

=>c=63 hoặc c=-67