1.

- Với \(x\ge\frac{1}{2}\Rightarrow2x-1\le x+2\Rightarrow x\le3\Rightarrow\frac{1}{2}\le x\le3\)

- Với \(x< \frac{1}{2}\Rightarrow1-2x\le x+2\Rightarrow3x\ge-1\Rightarrow x\ge-\frac{1}{3}\)

Vậy nghiệm của BPT là \(-\frac{1}{3}\le x\le3\)

2.

Để pt có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow ac< 0\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(2m-3\right)< 0\Rightarrow-2< m< \frac{3}{2}\)

3.

\(5x-1>\frac{2x}{5}+3\Leftrightarrow5x-\frac{2x}{5}>4\Leftrightarrow\frac{23}{5}x>4\Rightarrow x>\frac{20}{23}\)

4.

\(4x^2+4x+1-3x+9>4x^2+10\)

\(\Leftrightarrow x>0\)

5.

\(1< \frac{1}{1-x}\Leftrightarrow\frac{1}{1-x}-1>0\Leftrightarrow\frac{x}{1-x}>0\Rightarrow0< x< 1\)

6.

\(\frac{\left(x-5\right)^2\left(x-3\right)}{x+1}\le0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\-1< x\le3\end{matrix}\right.\)

Khi \(x\ge0\Rightarrow2x+1>0\) nên BPT tương đương:

\(x^2-3x+m>\left(2x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+m>4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2+7x+1< m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=3x^2+7x+1\) trên \(\left[0;2\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{7}{6}\notin\left[0;2\right]\) ; \(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(2\right)=27\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge1\Rightarrow\) pt có nghiệm trên đoạn đã cho khi \(m>1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2-2x+15}\le x^2+2x+m\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2x+15+\sqrt{-x^2-2x+15}-15\le m\)

Đặt \(t=-x^2-2x+15\Rightarrow0\le t\le4\)

\(\Rightarrow t^2+t-15\le m\) với \(t\in\left[0;4\right]\)

\(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_{\left[0;4\right]}\left(t^2+t-15\right)\)

Xét \(f\left(t\right)=t^2+t-15\) trên [0;4]

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}\notin\left[0;4\right]\) ; \(f\left(0\right)=-15\) ; \(f\left(4\right)=5\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\le5\Rightarrow m\ge5\)

\(4\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\le x^2-2x+m-3\)

mình đánh nhầm, giúp vs ạ

Ta có : \(\dfrac{x-1}{x+2}\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1-\left(x+2\right)}{x+2}=\dfrac{x-1-x-2}{x+2}=\dfrac{-3}{x+2}\le0\)

\(\Leftrightarrow x+2>0\)

\(\Leftrightarrow x>-2\)

- Ta có hệ BPT : \(\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\x\le\dfrac{m-1}{2}\end{matrix}\right.\)

a, - Để HBPT có nghiệm \(\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{2}>-2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m-1+4}{2}=\dfrac{m+3}{2}>0\)

\(\Leftrightarrow m>-3\)

b, Là lạ :vvv

c, Mk nghĩ là vô nghiệm :vvvv

- Để HBPT vô nghiệm <=> \(m\le-3\)

d, Mk nghĩ là có nghiệm đúng với mọi x thuộc R .

- Không tồn tại m thỏa mãn điều kiện :vvvvv

Câu a với câu c khác gì nhau

2.