-Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-la-cac-so-thoa-man-2018le-abcle2019-tim-gtln-cua-bieu-thuc-plefta-bright2000leftb-cright2000leftc-aright.253535226325

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)

đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x;y;z\le1\\x+y=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^{2000}\le x\\y^{2000}\le y\\z^{2000}\le z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=x^{2000}+y^{2000}+z^{2000}\le x+y+z=2z\le2\)

\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi (x;y;z)=(0;1;1) và hoán vị

\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(2018;2018;2019\right)\) và hoán vị

a + b + c = 0

<=> (a + b + c)^2 = 0

<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)  = 0

<=> a^2 + b^2 + c^2 = 0

<=> a = b = c = 0

=> Q = - 1 + 1 + 1 = 1

bai nay de

dễ thì lm giúp đi

Em tham khảo ở đây:

xét các số thực a,b,c (a≠0) sao cho phương trình ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm m, n thỏa mãn \(0\le m\le1;0\le m\le1\). tìm GTN... - Hoc24

Max thì đơn giản thôi em:

Do \(0\le m;n\le1\Rightarrow0< 2-mn\le2\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{\left(2-mn\right)\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{m+n+1}=2\)

\(M_{max}=2\) khi \(mn=0\)

\(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)

\(\le b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)

\(=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)

\(\le\frac{4.\left(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b\right)^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)

\(\le\frac{4.c^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)

\(=c^2\left(1-\frac{23c}{27}\right)\)

\(=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}.\left(1-\frac{23c}{27}\right).\frac{2916}{529}\)

\(\le\frac{2916}{529}.\frac{\left(\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27}\right)^3}{27}=\frac{108}{529}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=0;b=\frac{12}{23};c=\frac{18}{23}\)

CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0 1/Định nghĩa  A ≤ B ⇔ A − B ≤ 0 2/Tính chất + A>B ⇔ B < A + A>B và B >C ⇔ A > C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B và C > D ⇒ A+C > B + D + A>B và C > 0 ⇒ A.C > B.C + A>B và C < 0 ⇒ A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D ⇒ 0 < A.C < B.D + A > B > 0 ⇒ A n > B n ∀n + A > B ⇒ A n > B n với n lẻ + A > B ⇒ A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 ⇒ A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1 ⇒ A m < A n 1 1 +A < B và A.B > 0 ⇒ > A B 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2 ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A ≥ 0 với ∀A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + -A <A= A + A + B ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + A − B ≤ A − B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)Sưu tầm và tuyển chọn 1

\(K\le\Sigma\sqrt{12a+\left(b+c\right)^2}=\Sigma\sqrt{12a+\left(3-a\right)^2}=\Sigma\sqrt{\left(a+3\right)^2}=12\)

dấu "=" xảy ra khi \(a=b=0;c=3\) và các hoán vị

a + b + c= 1 \(\Rightarrow\)1 - a = b + c > 0

Tương tự : 1 - b > 0 ; 1 - c > 0

Mà 1 + a = 1 + ( 1 - b - c ) = ( 1- b ) + ( 1 - c ) \(\ge\)\(2\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\)

Tương tự : \(1+b\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-c\right)}\); \(1+c\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)

\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\sqrt{\left(1-a\right)^2\left(1-b\right)^2\left(1-c\right)^2}=8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\ge8\)

Dấu " = : xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy GTNN của A là 8 \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Cách khác:

\(A=\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\right]\left[\left(b+c\right)+\left(b+a\right)\right]\left[\left(c+a\right)+\left(c+b\right)\right]}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số ta được:

\(A\ge\frac{8\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=8\)

"=" <=> a = b = c = 1/3

Kết luận..

Xét \(a,b>1\)

\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}>a^{2018}+b^{2018}\)(loại)

Xét \(0< a,b< 1\)

\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}< a^{2018}+b^{2018}\)

Xét \(a=1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=0\\b=1\end{cases}}\)

Xét \(a=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=0\\b=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a,b\right)=\left(0,0;0,1;1,0;1,1\right)\)

Thế từng bộ vô cái nào lớn nhất lụm