Ta có :
|7x - 5y| ≥ 0 
|2z - 3x| ≥ 0 
|xy + yz + zx - 2000| ≥ 0 
t² - t + 2014 = t² - 2t.(1/2) + 1/4 + 8055/4 = (t - 1/2)² + 8055/4 ≥ 8055/4 
Do đó: 
P = |7x-5y| + |2z-3x| + |xy+yz+zx-2000| + t^2 - t + 2014 ≥ 8055/4 
Suy ra 
Min P = 8055/4 giá trị đạt được khi 
{ 7x - 5y = 0 
{ 2z - 3x = 0 
{ xy + yz + zx - 2000 = 0 
{ (t - 1/2)² = 0 ---> t = 1/2 
Phương trình 1 ---> y = 7x/5 
Phương trình 2 ---> z = 3x/2 
Thay vào pt 3 được (7x²/5) + (21x²/10) + (3x²/2) = 2000 
<=> x² = 400 <=> x = ± 20 
Như vậy sẽ có 2 bộ (x, y, z, t) làm P nhỏ nhất là (± 20 ; ± 28 ; ± 30 ; 1/2)

Ta có |7x – 5y|  0;  |2z – 3x| 0 và | xy + yz + zx - 2000|  0

Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| 0

Mà A = 0 khi và chỉ khi

|7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = 0

Có: |7x – 5y| = 0 ó 7x = 5y ó  

 |2z – 3x| = 0 ó  

|xy + yz + zx - 2000| = 0 ó xy + yz + zx = 2000

Từ đó tìm được  

A  0, mà A = 0 ó (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30)

Vậy MinA = 0 ó (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30)

Chờ iu chiu nặng chịu

Với mọi giá trị của \(x;y;z\in R\) ta có:

\(\left|7x-5y\right|\ge0;\left|2z-3x\right|\ge0;\left|xy+yz+zx-500\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|+2016\ge2016\)

Hay \(A\ge2016\) với mọi giá trị của \(x;y;z\in R\)

Để A=2016 thì \(\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|+2016=2016\)

\(\Leftrightarrow\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-500\right|=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|7x-5y\right|=0\\\left|2z-3x\right|=0\\\left|xy+yz+zx-500\right|=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x-5y=0\\2z-3x=0\\xy+yz+zx-500=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=5y\\2z=3x\\xy+yz+zx=500\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21x=15y=14z\\xy+yz+zx=500\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{21x}{630}=\dfrac{15y}{630}=\dfrac{14z}{630}\\xy+yz+zx=500\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{30}=\dfrac{y}{42}=\dfrac{z}{45}\\xy+yz+zx=500\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\dfrac{x}{30}=\dfrac{y}{42}=\dfrac{z}{45}=k\left(k>0\right)\Rightarrow x=30k;y=42k;z=45k\)(1)

Thay(1) vào (2) ta có:

\(30k.42k+42k.45k+45k.30k=500\)

\(\Rightarrow1260k^2+1890k^2+1350k^2=500\)

\(\Rightarrow\left(1260+1890+1350\right)k^2=500\)

\(\Rightarrow4500k^2=500\Rightarrow k^2=\dfrac{1}{9}\Rightarrow k=\pm\dfrac{1}{3}\)

Vì k>0 nên \(k=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}.30=10;y=\dfrac{1}{3}.42=14;z=\dfrac{1}{3}.45=15\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2016 đạt được khi và chỉ khi x=10; y=14; z=15

Chúc bạn học tốt nha!!

Nhật LinhVõ Đông Anh Tuấnsoyeon_Tiểubàng giải

Silver bullet Hoàng Thị Ngọc AnhPhương An

cái này kẻ bảng xét dấu để xét trường hợp mấy cái dấu giá trị tuyệt đối, :V tối thứ 7 sáng CN t làm cho :V

\(\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{15}=t\)

\(10.14.t^2+14.15.t^2+10.15.t^2=-2000\) < 0 loai

Vay ko co gt nao .....

Lời giải:

Dễ thấy:

$|7x-5y|\geq 0$ với mọi $x,y$

$|2z-3x|\geq 0$ với mọi $x,z$

$|xy+yz+xz-2000|\geq 0$ với mọi $x,y,z$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì:

$|7x-5y|=|2z-3x|=|xy+yz+xz-2000|=0$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 7x=5y\\ 2z=3x\\ xy+yz+xz=2000\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{10}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}\\ xy+yz+xz=2000\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\frac{x}{10}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}=t\Rightarrow x=10t; y=14t; z=15t\)

\(\Rightarrow 2000=xy+yz+xz=10t.14t+10t.15t+14t.15t\)

\(\Leftrightarrow 2000=500t^2\Rightarrow t^2=4\Rightarrow t=\pm 2\)

\(\Rightarrow (x,y,z)=(20; 28; 30); (-20; -28; -30)\)

Vậy.......

Lời giải:
Dễ thấy:

$|7x-5y|\geq 0$ với mọi $x,y$

$|2z-3x|\geq 0$ với mọi $x,z$

$|xy+yz+xz-2000|\geq 0$ với mọi $x,y,z$

Do đó để tổng của 3 số trên bằng $0$ thì:

$|7x-5y|=|2z-3x|=|xy+yz+xz-2000|=0$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7x=5y\\ 2z=3x\\ xy+yz+xz=2000\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{10}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}\\ xy+yz+xz=2000(*)\end{matrix}\right.\)

Đặt $\frac{x}{10}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}=t\Rightarrow x=10t; y=14t; z=15t$

Thay vào $(*)\Leftrightarrow 500t^2=2000\Rightarrow t=\pm 2$

$\Rightarrow (x,y,z)=(\pm 20,\pm 28, \pm 30)$