ĐKXĐ: \(x>4\)

\(\dfrac{x-2}{\sqrt{x-4}}\le\dfrac{4}{\sqrt{x-4}}\Rightarrow x-2\le4\)

\(\Rightarrow x\le6\Rightarrow4< x\le6\)

\(\Rightarrow x=\left\{5;6\right\}\Rightarrow5+6=11\)

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

- Với \(x=0\) không phải nghiệm

- Với \(x>0\) , chia 2 vế của pt cho \(x\) ta được:

\(\dfrac{4x^2+1}{x}+2\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{x}}+3-2m=0\)

Đặt \(t=\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{x}}\ge\sqrt{\dfrac{2\sqrt{4x^2}}{x}}=2\)

Pt trở thành: \(t^2+2t+3-2m=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t+3=2m\) (1)

Pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm \(t\ge2\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+2t+3\) khi \(t\ge2\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\-\dfrac{b}{2a}=-1< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến khi \(t\ge2\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge f\left(2\right)=11\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(2m\ge11\Rightarrow m\ge\dfrac{11}{2}\)

\(\sqrt{4x-8}-2\sqrt{\dfrac{x-2}{4}}=3\left(x\ge2\right)\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x-2}-\sqrt{x-2}=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-2}=3\Leftrightarrow x-2=9\\ \Leftrightarrow x=11\left(tm\right)\)

ĐKXĐ: \(x\ge2\)

\(pt\Leftrightarrow2\sqrt{x-2}-\sqrt{x-2}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=3\Leftrightarrow x-2=9\Leftrightarrow x=11\left(tm\right)\)

ĐKXĐ: \(3\ge x\ge5\)(vô lý)

Vậy pt vô nghiệm

TXĐ: D=\(\left[-2;2\right]\)

Đặt \(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}=a\ge0\Rightarrow a^2=4+2\sqrt{-x^2+4}\) 

Khi đó: pt trở thành: \(a+a^2+2m-1=0\) (*)

để pt đã cho có nghiệm thì pt(*) có nghiệm

khi đó \(\Delta=1^2-4\left(2m-1\right)=-8m+2\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{1}{4}\)

???

ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)

Đặt \(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\le t\le2\sqrt{2}\\2\sqrt{-x^2+4}=t^2-4\end{matrix}\right.\)

Pt trở thành:

\(t+t^2-4+2m+3=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-1=-2m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+t-1\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}\notin\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(f\left(2\right)=5\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=7+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow5\le-2m\le7+2\sqrt[]{2}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7+2\sqrt{2}}{2}\le m\le-\dfrac{5}{2}\)

Có đúng 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn là \(m=-4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}+\sqrt{x^2+\left(4x-3\right)^2}\le\sqrt{10x^2-4x+2}\)

Ta có:

\(VT=\sqrt{\left(2-x\right)^2+1^2}+\sqrt{\left(4x-3\right)^2+x^2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{\left(2-x+4x-3\right)^2+\left(1+x\right)^2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{\left(3x-1\right)^2+\left(x+1\right)^2}=\sqrt{10x^2-4x+2}\)

\(\Rightarrow VT\ge VP\)

\(\Rightarrow\) BPT có nghiệm khi và chỉ khi:

\(x\left(2-x\right)=1.\left(4x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow2x-x^2=4x-3\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\)