Ta có:(a¹⁰+b¹⁰)(a²+b²)-(a⁸+b⁸)(a⁴+b⁴)

=a¹²+b¹²+a²b¹⁰+a¹⁰b²-a¹²-b¹²-a⁸b⁴-a⁴b⁸

=a²b²(a⁸+b⁸-a⁶b²-a²b⁶)

=a²b²[a⁶(a²-b²)-b⁶(a²-b²)]

=a²b²(a²-b²)(a⁶-b⁶)

=a²b²(a²-b²)(a²-b²)(a⁴+a²b²+b⁴)

=a²b²(a²-b²)²(a⁴+a²b²+b⁴)

Do a²b²\(\ge\)0 với mọi a;b

(a²-b²)²\(\ge\)0 với mọi a;b

a⁴+a²b²+b⁴>0 với mọi a;b(bình phương thiếu)

=>a²b²(a²-b²)²(a⁴+a²b²+b⁴)\(\ge\)0 với mọi a;b

=>(a¹⁰+b¹⁰)(a²+b²)\(\ge\)(a⁸+b⁸)(a⁴+b⁴)

Ta có bất đẳng thức Bunhiacopski : \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

Dấu = xảy ra khi \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

\(\left[\left(a^5\right)^2+\left(b^5\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^6+b^6\right)^2\) (1)

\(\left[\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^6+b^6\right)^2\) (2)

Trừ từng vế của 2 bất đẳng thức (1)(2) ta dược : \(\left[\left(a^5\right)^2+\left(b^5\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)-\left[\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^6+b^6\right)^2-\left(a^6+b^6\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\) \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b

Ace Legona,Hung nguyen,Hoang Hung Quan..............giúp với!

Áp dụng bất đẳng thức \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) ta có:

\(8\left(a^4+b^4\right)\ge4\left(a^2+b^2\right)^2=\left[2\left(b^2+c^2\right)\right]^2\ge\left(a+b\right)^4\).

1: =>4a^3+4b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3>=0

=>a^3-a^2b-ab^2+b^3>=0

=>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0

=>(a+b)(a-b)^2>=0(luôn đúng)

2: \(a^4+b^4=\dfrac{a^4}{1}+\dfrac{b^4}{1}>=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}\right)^2\)

=>\(a^4+b^4>=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\)

\(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\)\(\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Leftrightarrow a^{10}b^2+a^2b^{10}\ge a^8b^4+a^4b^8\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+a^2b^6\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^6-b^6\right)\ge0\)

Vì a^2-b^2 va a^6-b^6 cùng dấu nên ta có điều phải chứng minh.

bn có thể giải rõ hơn ko?

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta có đpcm.

\(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6=\left(a^8-a^6b^2\right)+\left(b^8-a^2b^6\right)=a^6\left(a^2-b^2\right)+b^6\left(b^2-a^2\right)=\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\) nên suy ra được như vậy Quỳnh Anh

3) Chứng minh bằng biến đổi tương đương ; \(2\left(a^2+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+a^2b+ab^2\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(Chia cả hai vế cho a+b > 0)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.

b) Bạn biến đổi tương tự.

3) \(a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2\ge a^2+b^2\)

\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(2a^2-2ab+2b^2\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2\ge a^2+b^2\)(đúng với a,b>0)

4) \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(4a^2-4ab+4b^2\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+4b^2\ge a^2+2ab+b^2\)(do a,b>0)

\(\Leftrightarrow3x^2-6xy+3y^2\ge0\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2\ge0\)(đúng)