\(log_{6-x}\left(log_2x\right)=log_{7-x}\left(log_22x\right)\)
tổng tất cả các nghiệm pt:
a, \(log_2\left(x+1\right)+log_2x=1\)
b, \(log_{\dfrac{1}{3}}^2\left(4x\right)-5log_3\left(2x\right)=5\)
c, \(log_2\left(x-1\right)+log_2\left(x-2\right)=log_5125\)
a:
ĐKXĐ: x+1>0 và x>0
=>x>0
=>\(log_2\left(x^2+x\right)=1\)
=>x^2+x=2
=>x^2+x-2=0
=>(x+2)(x-1)=0
=>x=1(nhận) hoặc x=-2(loại)
c: ĐKXĐ: x-1>0 và x-2>0
=>x>2
\(PT\Leftrightarrow log_2\left(x^2-3x+2\right)=3\)
=>\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=8\)
=>x^2-3x-6=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}\left(nhận\right)\\x=\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Giải các phương trình logarir sau :
a) \(lgx+lg\left(x+9\right)=1\)
b) \(\log_2x+\log_4x+\log_8x=11\)
c) \(\log_4x^3+3\log_{25}x+\log_{\sqrt{125}}\sqrt{x^3}=\frac{11}{2}\)
d) \(\log_2x+\log_3x+\log_4x=\log_{20}x\)
d) Điều kiện x>0. Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có :
\(\log_2x+\log_3x+\log_4x=\log_{20}x\)
\(\Leftrightarrow\log_2x+\frac{\log_2x}{\log_23}+\frac{\log_2x}{\log_24}=\frac{\log_2x}{\log_220}\)
\(\Leftrightarrow\log_2x\left(1+\frac{1}{\log_23}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\log_220}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\log_2x\left(\frac{3}{2}+\log_22-\log_{20}2\right)=0\)
Ta có \(\frac{3}{2}+\log_22-\log_{20}2>\frac{3}{2}+0-1>0\)
Do đó, từ phương trình trên, ta phải có \(\log_2x=0\) hay \(x=2^0=1\)
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \(x=1\)
c) Điều kiện x>0, đưa về cùng cơ số 5, ta có :
\(\log_5x^3+3\log_{25}x+\log_{\sqrt{25}}\sqrt{x^3}=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow3\log_5x+3\log_{5^2}x+\log_{5^{\frac{3}{2}}}x^{\frac{3}{2}}=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow3\log_5x+3\frac{1}{2}\log_5x+\frac{3}{2}.\frac{2}{3}\log_5x=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{11}{2}\log_5x=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow\log_5x=1\)
\(\Leftrightarrow x=5^1=5\) thỏa mãn
Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệ duy nhất \(x=5\)
b) Điều kiện x>0. Đưa về cùng cơ số 2, ta có :
\(\log_2x+\log_{2^2}x+\log_{2^3}x=11\Leftrightarrow\log_2x+\frac{1}{2}\log_2x+\frac{1}{3}\log_2x=11\)
\(\Leftrightarrow\frac{11}{6}\log_2x=11\)
Do đó \(\log_2x=6\)
và \(x=2^6=64\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=64\)
tìm x
\(\frac{3}{2}\log_{\frac{1}{2}}\left(x+2\right)^2-3=\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)^3+\log_{\frac{1}{4}}\left(6+x\right)^3\)
đk: \(\begin{cases}x+2\ne0\\4-x>0\\6+x>0\end{cases}\)
ta có \(3\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)-3=3\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)+3\log_{\frac{1}{4}}\left(6+x\right)\) suy ra \(\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)-\log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}=\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)\left(6+x\right)\) suy ra \(\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right).\frac{1}{4}=\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)\left(6+x\right)\) suy ra \(\frac{x+2}{4}=\left(4-x\right)\left(6+x\right)\)
giải pt tìm ra x
đối chiếu với đk của bài ta suy ra đc nghiệm của pt
Giải bất phương trình:
\(a,\log_{0,1},1\left(x^2+x-2\right)>\log_{0,1}\left(x+3\right)\)
\(b,\log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2\log_3\left(2-x\right)\ge0\)
a. Vì \(0< 0,1< 1\) nên bất phương trình đã cho
\(\Leftrightarrow0< x^2+x-2< x+3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-2>0\\x^2-5< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>1\end{matrix}\right.\\-\sqrt{5}< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< x< -2\\1< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\{-\sqrt{5};-2\right\}\) và \(\left\{1;\sqrt{5}\right\}\)
b. Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}2-x>0\\x^2-6x+5>0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2log^3\left(2-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)\ge log_{\dfrac{1}{3}}\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+5\le\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x-1\ge0\)
Bất phương trình tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5>0\\2-x>0\\2x-1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>5\end{matrix}\right.\\x< 2\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)
Xác định m để hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt
\(\begin{cases}\log_{\sqrt{3}}\left(x+1\right)-\log_{\sqrt{3}}\left(x-1\right)>\log_34\left(1\right)\\\log_2\left(x^2-2x+5\right)-m\log_{x^2-2x+5}2=5\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
y' | + 0 - |
y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
m=? để \(log_{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}\left(x-m+1\right)log_{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}\left(mx-x^2\right)=0\)có nghiệm
ban solo voi minh khong
Giải các phương trình sau :
a) \(13^{2x+1}-13^x-12=0\)
b) \(\left(3^x+2^x\right)\left(3^x+3.2^x\right)=8.6^x\)
c) \(\log_{\sqrt{3}}\left(x-2\right).\log_5x=2.\log_3\left(x-2\right)\)
d) \(\log^2_2x-5\log_2x+6=0\)
a) Đặt t = 13x > 0 ta được phương trình:
13t2 – t – 12 = 0 ⇔ (t – 1)(13t + 12) = 0
⇔ t = 1 ⇔ 13x = 1 ⇔ x = 0
b)
Chia cả hai vế phương trình cho 9x ta được phương trình tương đương
(1+(23)x)(1+3.(23)x)=8.(23)x(1+(23)x)(1+3.(23)x)=8.(23)x
Đặt t=(23)xt=(23)x (t > 0) , ta được phương trình:
(1 + t)(1 + 3t) = 8t ⇔ 3t2 – 4t + 1 = 0 ⇔ t∈{13,1}t∈{13,1}
Với t=13t=13 ta được nghiệm x=log2313x=log2313
Với t = 1 ta được nghiệm x = 0
c) Điều kiện: x > 2
Vì nên phương trình đã cho tương đương với:
[log3(x−2)=0log5x=1⇔[x=3x=5[log3(x−2)=0log5x=1⇔[x=3x=5
d) Điều kiện: x > 0
log22x – 5log2x + 6 = 0
⇔(log2x – 2)(log2x – 3) = 0
⇔ x ∈ {4, 8}
Rút gọn biểu thức sau :
\(R=\log_22x^2+\left(\log_2x\right).x^{\log_x\left(\log_2x+1\right)}+\frac{1}{2}\log^2_4x^4\)
\(R=\log_22x^2+\left(\log_2x\right)x^{\log_x\left(\log_2x+1\right)}+\frac{1}{2}\log^2_4x^4\)
\(=1+2\log_2x+\left(\log_2x\right)\left(\log_2x+1\right)+2\log^2_2x\)
\(=3\log^2_2x+3\log_2x+1\)
m.n giải giúp mình vs ạ
a) \(6^x-2^x=32\)
b) \(5^{7^x}=7^{5^x}\)
c) \(\log_x\left(x+1\right)=\log_{1,5}\)
d) \(3^x+3^{-x}=\sqrt[2]{8-x^2}\)
e)\(x^{\log_2\left(9\right)}=x^2\cdot3^{\log_2x}-x^{\log_23}_{ }\)
Lời giải:
a) Vì \(6^x-2^x>0\Rightarrow x>0\)
Xét \(y=6^x-2^x-32\) có \(y'=\ln 6.6^x-\ln 2.2^x>0\forall x>0\) nên hàm $y$ đồng biến trên \(x\in(0,+\infty)\).
Khi đó phương trình \(6^x-2^x=32\) có nghiệm duy nhất $x=2$
b) Có \(5^{7^x}=7^{5^x}\Leftrightarrow \log(5^{7^x})=\log (7^{5^x})\)
\(\Leftrightarrow 7^x\log 5=5^x\log 7=7^{x\frac{\log 5}{\log 7}}\log 7\)
\(\Leftrightarrow 7^{x(1-\frac{\log 5}{\log 7})}=\frac{\log 7}{\log 5}=10^{x\log 7(1-\frac{\log 5}{\log 7})}=10^{x\log(\frac{7}{5})}\)
\(\Leftrightarrow x\log\frac{7}{5}=\log\left ( \frac{\log 7}{\log 5} \right )\)\(\Rightarrow x=\frac{\log\left ( \frac{\log 7}{\log 5} \right )}{\log\frac{7}{5}}\)
d) ĐKXĐ:...........
\(3^x+\frac{1}{3^x}=\sqrt{8-x^2}\Leftrightarrow 9^x+\frac{1}{9^x}+2=8-x^2\)
\(\Leftrightarrow 9^x+\frac{1}{9^x}+x^2=6\)
Giả sử \(x\geq 0\) . Xét hàm \(y=9^x+\frac{1}{9^x}+x^2\) có \(y'=9^x\ln 9-\frac{\ln 9}{9^x}+2x\geq 0\) nên hàm đồng biến trên \(x\in [0,+\infty)\)
Do đó PT \(9^x+\frac{1}{9^x}+x^2=6\) với $x\geq 0$ có nghiệm duy nhất \(x\approx 0,753897\)
---------------------------------------------------------------------------------
Vì hàm \(y\) là hàm chẵn nên $-x$ cũng là nghiệm, do đó tổng kết lại PT có nghiệm là \(x\approx \pm 0,753897\)
e) ĐK: $x>0$
\(\text{PT}\Leftrightarrow x^{\log_29}+x^{\log_23}=x^2.3^{\log_2x}\)
\(\Leftrightarrow x^{2\log_23}+x^{log_23}=x^2.x^{log_23}\Leftrightarrow x^{log_23}(x^{\log_23}+1-x^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x^{\log_23}+1-x^2=0\) (do \(x>0\))
Dễ thấy \(x^2>x^{\log_23}\Rightarrow x>1\)
Xét hàm \(y=x^2-x^{\log_23}\Rightarrow y'=2x-\log_23x^{\log_23-1}>0\forall x>1\) nên hàm $y$ là hàm đồng biến
Do đó PT có nghiệm duy nhất $x=2$
c) Có lẽ bạn type thiếu đề