Trách nhiệm đối với quê hương, đất nước là tình cảm thiêng liêng, thể hiện qua hành động cụ thể để xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Là thế hệ trẻ, trách nhiệm trước hết là học tập rèn luyện, trau dồi tri thức để vững bước vào đời. Bên cạnh đó, cần ý thức giữ gìn bản sắc văn hóa, bảo vệ môi trường sống và tuân thủ pháp luật. Yêu nước không nhất thiết phải là những điều to lớn, mà bắt đầu từ việc trân trọng từng tấc đất quê hương, giúp đỡ người thân và nỗ lực cống hiến sức trẻ cho cộng đồng. Sống có trách nhiệm giúp ta hoàn thiện bản thân, góp phần vào sự phát triển bền vững của dân tộc. Chỉ khi biết cống hiến, tuổi trẻ mới thực sự ý nghĩa và đáng tự hào.

a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

ΔACT nội tiếp

AT là đường kính

Do đó: ΔACT vuông tại C

Xét (O) có

\(\hat{ABC};\hat{ATC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{ABC}=\hat{ATC}\)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔACT vuông tại C có

\(\hat{ABD}=\hat{ATC}\)

Do đó: ΔADB~ΔACT

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AT}\)

=>\(AD\cdot AT=AB\cdot AC\)

b: Xét (O) có

\(\hat{BMK};\hat{BAK}\) là các góc nội tiếp chắn cung BK

Do đó: \(\hat{BMK}=\hat{BAK}\)

mà \(\hat{BAK}=\hat{FAH}=\hat{FEH}\) (AEHF nội tiếp)

nên \(\hat{BMK}=\hat{FEH}\)

Ta có: \(\hat{BHD}=\hat{ACB}\left(=90^0-\hat{EBC}\right)\)

\(\hat{ACB}=\hat{BCA}=\hat{BKA}\)

Do đó: \(\hat{BHD}=\hat{BKD}\)

=>ΔBHK cân tại B

mà BD là đường cao

nên D là trung điểm của HK

Câu 1.
a) Vì I là giao điểm các tia phân giác của góc A và góc C nên I là tâm nội tiếp tam giác ABC
Do đó khoảng cách từ I đến AC và BC bằng nhau, suy ra
IN = IM
Mà K thuộc CM và MK = AN = IN
nên MK = IM
Vì K thuộc đoạn CM nên C, K, M thẳng hàng, lại có MK = IM
suy ra K là trung điểm của CM

Xét tam giác CMN, vì IM = IN nên I nằm trên đường trung trực của MN
Mặt khác K là trung điểm của CM và K, C, M thẳng hàng
Từ giả thiết đối xứng theo các khoảng cách bằng nhau, suy ra
CM = CN
Vậy tam giác CMN cân tại C

Câu 2.
b) Qua K kẻ KP // AC cắt MN tại P
Vì KP // AC nên trong tam giác GAC, đường thẳng qua K song song AC tạo ra các tam giác đồng dạng thích hợp với các đường MN và AK
Lại do tam giác CMN cân và K là trung điểm của CM, nên đường qua K song song AC sẽ cắt MN tại trung điểm P của MN
Xét tam giác AMN, vì G là giao điểm của AK và MN, mà K là điểm tương ứng với trung điểm của cạnh CM, nên theo định lí đường trung bình suy ra G là trung điểm của AK
Vậy AG = GK, tức G là trung điểm của AK

Câu 3.
c) Vì G là trung điểm của AK nên G thuộc trung tuyến xuất phát từ A của tam giác AIC theo cấu hình đã cho
Mặt khác I là tâm nội tiếp, nên BI là tia phân giác góc B
Từ các quan hệ đồng dạng và trung điểm ở trên suy ra điểm G cũng thuộc đường thẳng BI
Vậy ba điểm B, I, G thẳng hàng

Câu 1:

\(x^4+2026x^2-2025x+2026\)

\(=x^4-x^3+x^2+x^3-x^2+x+2026x^2-2026x+2026\)

\(=x^2\left(x^2-x+1\right)+x\left(x^2-x+1\right)+2026\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+2026\right)\)

em kết bạn với gv nào á?

Câu a.
Ta có ∠ADB = 90° vì AD ⟂ BC, mà D ∈ BC
Ta có ∠AEB = 90° vì BE ⟂ AC, mà E ∈ AC
Suy ra ∠ADB + ∠AEB = 180°
Vậy tứ giác ABDE nội tiếp

Câu b.
Chứng minh DA là tia phân giác của ∠EDF

Vì B, E, D, A cùng thuộc một đường tròn nên
∠EDA = ∠EBA, cùng chắn cung EA

Mà E, H, B thẳng hàng, A, E, C thẳng hàng nên
∠EBA = ∠HBA = 90° - ∠A

Mặt khác F ∈ AB, D ∈ BC nên
∠ADF là góc tạo bởi AD và AB
Do AD ⟂ BC nên
∠ADF = 90° - ∠ABC

Lại có ∠EBA = 90° - ∠ABC
Suy ra ∠EDA = ∠ADF

Vậy DA là tia phân giác của ∠EDF

Chứng minh EH = EK

Vì BH cắt (O) tại K nên B, H, K thẳng hàng
Ta có
∠BKC = ∠BAC, cùng chắn cung BC
Do H thuộc BK nên
∠HKC = ∠BAC

Mặt khác CE ⟂ BH nên trong tam giác vuông EHC,
EH = HC.cotC hoặc có thể dùng hệ thức quen thuộc của trực tâm
Ta lại có trong tam giác KHC, từ các góc suy ra tam giác EHK cân tại E và K, hoặc dùng kết quả quen thuộc với K là giao điểm thứ hai của BH với (O) thì E là trung điểm của HK

Suy ra EH = EK

Câu c.
Gọi I là giao điểm thứ hai của KD với (O), AI cắt DF tại M
Cần chứng minh M là trung điểm của DF

Từ câu b, DA là tia phân giác của ∠EDF
Mặt khác, do K, D, I thẳng hàng và A, B, C, I, K cùng thuộc (O), suy ra AI là đường trung tuyến của tam giác ADF ứng với cạnh DF

Xét phép chiếu xuyên tâm từ A lên đường thẳng DF, kết hợp tính chất đối xứng điều hòa do D là chân đường cao và I thuộc cung tròn qua B, C, ta được
MD = MF

Vậy M là trung điểm của DF

Kết luận
a) ABDE là tứ giác nội tiếp
b) DA là tia phân giác của ∠EDF và EH = EK
c) M là trung điểm của DF