Question

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là điểm đối xứng với D qua C

a) Tứ giác ABIC là hình gì? Vì sao?

b) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh A, E, I thẳng hàng.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của BI. Chứng minh BOCM là hình thoi.

d) Tìm điều kiện của hình chữ nhật ABCD để tứ giác BOCM là hình vuông.

Answer 1

a: ta có: ABCD là hình chữ nhật

=>AB//CD và AB=CD

BA//CD

=>AB//CI

Ta có: AB-CD

CD=CI

Do đó: AB=CI

Xét tứ giác ABIC có

AB//IC

AB=IC

Do đó: ABIC là hình bình hành

b: ABIC là hình bình hành

=>AI cắt BC tại trung điểm của mỗi đường

mà E là trung điểm của BC

nên E là trung điểm của AI

=>A,E,I thẳng hàng

c: ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD(1)

ABIC là hình bình hành

=>AC=BI(2)

Từ (1),(2) suy ra BD=BI

ABCD là hình chữ nhật

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔBDI có

C,M lần lượt là trung điểm của ID,IB

=>CM là đường trung bình của ΔBDI

=>CM//BD và \(CM=\frac{BD}{2}\)

Ta có: CM//BD

=>CM//BO

Ta có: \(CM=\frac{BD}{2}\)

\(BO=\frac{BD}{2}\)

Do đó: CM=BO

Ta có: \(BO=\frac{BD}{2}\) (O là trung điểm của BD)

\(BM=\frac{BI}{2}\) (M là trung điểm của BI)

mà BD=BI

nên BO=BM

Xét tứ giác BOCM có

CM//BO

CM=BO

Do đó: BOCM là hình bình hành

Hình bình hành BOCM có BO=BM

nên BOCM là hình thoi

d: Hình thoi BOCM trở thành hình vuông khi \(\hat{OB}M=90^0\)

=>\(\hat{DBI}=90^0\)

=>ΔBDI vuông cân tại B

=>\(\hat{BDC}=45^0\)

Xét ΔCBD vuông tại C có \(\hat{CDB}=45^0\)

nên ΔCBD vuông cân tại C

=>CB=CD