\(A=\dfrac{bc}{8a^2}+\dfrac{ca}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}\)

\(=\dfrac{\left(bc\right)^3+8\left(ca\right)^3+8\left(ab\right)^3}{8\left(abc\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(2ca\right)^3+\left(2ab\right)^3}{8\left(abc\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(2ab+2ca\right)^3-3.2ca.2ab\left(2ab+2ca\right)}{8\left(abc\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(-bc\right)^3-3.2ca.2ab.\left(-bc\right)}{8\left(abc\right)^2}\)

\(=\dfrac{12\left(abc\right)^2}{8\left(abc\right)^2}=\dfrac{12}{8}\)

kkkk

Lời giải:

\(A=\frac{(bc)^3+(2ac)^3+(2ab)^3}{8a^2b^2c^2}=\frac{(bc)^3+(2ac+2ab)^3-3.2ac.2ab(2ac+2bc)}{8a^2b^2c^2}\)

\(=\frac{(bc)^3+(-bc)^3+12a^2b^2c^2}{8a^2b^2c^2}=\frac{12}{8}=1,5\)

còn tick nữa tui đủ 145 mà ai kiết zợ

bài này tôi có thể làm đc nhưng có điều bạn phải tick cho tối đa

`Answer:`

Thêm điều kiện `a,b,c\ne0` nhé.

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{b}{bc}+\frac{c}{bc}=\frac{c}{ca}+\frac{a}{ca}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{c}\\\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\\\frac{1}{c}=\frac{1}{b}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)

`=>a=b=c`

Lúc này `M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{1.1+1.1+1.1}{1^2+1^2+1^2}=3/3=1`

\(N=\dfrac{\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3}{\left(ab\right)\left(bc\right)\left(ca\right)}\)

Đặt \(\left(ab;bc;ca\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=0\Rightarrow N=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\)

\(N=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz+3xyz}{xyz}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]+3xyz}{xyz}=\dfrac{3xyz}{xyz}=3\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC, ta có:

7 – 1 < CA < 7 + 1

6 < CA < 8

Mà CA là số nguyên

CA = 7 cm.

Vậy CA = 7 cm.

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC, ta có:

AB + CA > BC

2 + CA > 6

CA > 4 cm

Mà CA là số nguyên và CA < 6 ( vì BC = 6 cm là cạnh lớn nhất của tam giác)

 CA = 5 cm

Vậy CA = 5 cm.

\(\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{1+ab-c^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+ab}}=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+2c^2\right)}}\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)

\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+a^2+b^2+2c^2}=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\ge ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2+ab+bc+ca\)

\(ab+bc+ca=0\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)(vì \(a,b,c\ne0\)) 

Ta có hằng đẳng thức:  \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

nên \(x+y+z=0\)thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Từ đó suy ra \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=3\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3\)