Cho a,b,c thực dương t.m: a+b+c=2
CMR: P = ab/căn ( ab+2c) + bc/căn( bc+2a) +ca/căn ( ca+2b)<=1
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b,c >0 thoả mãn a+b+c=2
tìm GTLN của căn 2a+bc + căn 2b+ca + căn 2c+ab
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a+b+c=2 Chứng minh rằng:
\(\dfrac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\dfrac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\dfrac{ca}{\sqrt{2b+ca}}\le1\)
\(VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{b\left(a+b+c\right)+ac}}\\ VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{ac+ab+bc+c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a^2+ac+ab+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{ab+bc+b^2+ac}}\\ VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{a+c}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{a+b}\right)+\left(\dfrac{ca}{b+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)+\left(\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ab}{a+c}\right)}{2}\\ \Rightarrow VT\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
Đúng 2
Bình luận (0)
cho các số thực không âm a,b,c thoat mãn căn( a + 2b + 1 ) + căn(a + 2c + 1 ) =4 . Tìm GTLN và GTNN của A = a + b + c + ca + bc + ac
cho các số thực không âm a,b,c thoat mãn căn( a + 2b + 1 ) + căn(a + 2c + 1 ) =4 . Tìm GTLN và GTNN của A = a + b + c + ca + bc + ac
cho 3 số thực dương ab,c thỏa mãn:ab+bc+ca=1. Chứng minh:((b+c)*căn(a^2+1)/(căn(b^2+1)*căn(c^2+1)
Đặt \(THANG=\frac{\left(b+c\right)\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}\sqrt{c^2+1}}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)}{\sqrt{\left(b+c\right)}\sqrt{\left(b+c\right)}}=\frac{\left(b+c\right)}{\sqrt{\left(b+c\right)^2}}\)
\(=\frac{b+c}{b+c}=1\left(b,c\in R^+\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c = 2017. tìm GTLN của
Q = căn(2017a +bc) + căn(2017b + ca) + căn(2017c + ab)
Cho 3 số thực dương a;b;c. Chứng minh:
\(\dfrac{2a^3}{a^6+bc}+\dfrac{2b^3}{b^6+ca}+\dfrac{2c^3}{c^6+ab}\le\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\)
19 tháng 6 2021 lúc 20:44
Cho các số thực dương a,b,c thảo mãn \(a^2+b^2+c^2=1\). CHứng minh:
\(\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt{\dfrac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt{\dfrac{ca+2b^2}{1+ca-b^2}}\ge2+ab+bc+ac\)
\(\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+c^2+c^2\right)}}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{2\left(a^2+b^2\right)+2c^2}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\ge ab+2c^2\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\); \(\sqrt{\dfrac{ac+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ac+2b^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\ge2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ac=2+ab+bc+ac\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Đúng 3
Bình luận (2)
9 tháng 3 2017 lúc 18:43
cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=2
tìm GTLN
\(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\)