cho 3 số thực thoả mãn điều kiện x+y+z=0 . CM:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Những câu hỏi liên quan
Cho x,y,z là số thực dương khác 0 thoả mãn (1/x+1/y+1/z)^2=1/x^2+1/y^2+1/z^2
Chứng minh rằng x^3+y^3+z^3=3xyz
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=0\)
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
Đúng 0
Bình luận (0)
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
=> 1/xy + 1/yz + 1/xz = 0
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
Đúng 0
Bình luận (0)
24 tháng 5 2022 lúc 16:09
Cho ba số thực không âm `x,y,z` thoả mãn điều kiện `x^2+y^2+z^2>=3`.Chứng minh rằng `(x+y+x)^3 >=9(xy+yz+zx)`
Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
Cho x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện x3+y3+z3=3xyz và x+y+z=0.Tính giá trị của biểu thức:
\(M=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)
X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ
<=> X3 + Y3 + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X3 + Y3 ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X + Y )3 - 3XY( X + Y ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> [ ( X + Y )3 + Z3 ] - 3XY( X + Y + Z ) = 0
<=> ( X + Y + Z )[ ( X + Y )2 - ( X + Y ).Z + Z2 - 3XY ] = 0
<=> ( X + Y + Z )( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}X+Y+Z=0\\X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-XZ=0\end{cases}}\)
+) X + Y + Z = 0 => \(\hept{\begin{cases}X+Y=-Z\\Y+Z=-X\\X+Z=-Y\end{cases}}\)
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(\frac{X+Y}{Y}\right)\left(\frac{Y+Z}{Z}\right)\left(\frac{X+Z}{X}\right)=\frac{-Z}{Y}\cdot\frac{-X}{Z}\cdot\frac{-Y}{X}=-1\)
+) X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ = 0
<=> 2( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> 2X2 + 2Y2 + 2Z2 - 2XY - 2YZ - 2XZ = 0
<=> ( X2 - 2XY + Y2 ) + ( Y2 - 2YZ + Z2 ) + ( X2 - 2XZ + Z2 ) = 0
<=> ( X - Y )2 + ( Y - Z )2 + ( X - Z )2 = 0 (1)
DỄ DÀNG CHỨNG MINH (1) ≥ 0 ∀ X,Y,Z
DẤU "=" XẢY RA <=> X = Y = Z
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(1+\frac{Y}{Y}\right)\left(1+\frac{Z}{Z}\right)\left(1+\frac{X}{X}\right)=2\cdot2\cdot2=8\)
Khi x + y + z = 0
=> x + y = -z
=> x + z = - y
=> y + z = - x
Khi đó M = \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x+z}{x}=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=-1\)
Xem thêm câu trả lời
có tồn tại hay ko 3 số nguyên x,y,z thoả mãn điều kiện
\(x^3+y^3+z^3=x+y+z+2020\)
Lời giải:
$x^3+y^3+z^3=x+y+z+2020$
$\Leftrightarrow x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1)=2020$
$\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)+y(y-1)(y+1)+z(z-1)(z+1)=2020$
Vì $x,x-1,x+1$ là 3 số nguyên liên tiếp nên $x(x-1)(x+1)\vdots 6$
Tương tự: $y(y-1)(y+1), z(z-1)(z+1)\vdots 6$
$\Rightarrow x(x-1)(x+1)+y(y-1)(y+1)+z(z-1)(z+1)\vdots 6$
Mà $2020\not\vdots 6$ nên không tồn tại 3 số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn đk đã cho.
Đúng 0
Bình luận (0)
cho x y z là 3 số thực thoả mãn điều kiện lxl+lyl+lzl<=căn 2
tìm gtln của biểu thức M=lx^2-y^2l+ly^2-z^2l+lz^2-x^2l
8 tháng 10 2021 lúc 13:24
Cho 3 số x,y,z khác 0 thoả mãn điều kiện \(\dfrac{y+z-x}{x}=\dfrac{z+x-y}{y}=\dfrac{x+y-z}{z}\)
Hãy tính giá trị của biểu thức :
\(B=\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
(y + z - x)/x = (z + x - y)/y = (x + y - z)/z = 1
--> y + z - x = x; z + x - y = y; x + y - z = z
--> y + z = 2x; z + x = 2y; x + y = 2z
Ta có:
B = (x + y)/y.(y + z)/z.(z + x)/x
= 2z/y.2x/z.2y/x = 8
Đúng 1
Bình luận (0)
tìm 3 số thực x;y;z thoả mãn x+y+z = 6109 sao cho 0≤z≤ y+4≤x+19
cho 3 số x,y,z đôi một khác nhau thõa mãn x^3(y-z)+z^3(x-y)=y^3(z-x). CM x^3+y^3+z^3=3xyz