- ĐK : \(\left\{{}\begin{matrix}x-3\ge0\\y-4\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge3\\y\ge4\end{matrix}\right.\)

Đặt A = \(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\) => A \(\ge0\)

Xét A² = \(x-3+y-4+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\)

= \(\left(x+y\right)-7+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\)

= \(1+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số không âm ta suy ra : \(2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\le x-3+y-4\) = 8-7 = 1

=> \(A^2\le1+1=2\) , vì A \(\ge0\)

=> \(A\le\sqrt{2}\) . Dấu "=" xảy ra tại \(\left\{{}\begin{matrix}x-3=y-4\\x+y=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3,5\\y=4,5\end{matrix}\right.\)

Vậy A_Max = \(\sqrt{2}\) tại \(\left\{{}\begin{matrix}x=3,5\\y=4,5\end{matrix}\right.\)

giải bằng Bunhiaskopki nha bạn, search gg

Ta có P \(\le\dfrac{1^2+\left(\sqrt{x-1}\right)^2}{2}+\dfrac{2^2+\left(\sqrt{y-4}\right)^2}{2}+\dfrac{3^2+\left(\sqrt{z-9}\right)^2}{2}\)

\(=\dfrac{1+x-1+4+y-4+9+z-9}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{28}{2}=14\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}1=\sqrt{x-1}\\2=\sqrt{y-4}\\3=\sqrt{z-9}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2;y=8;z=18\)(tm) 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :

\(C^2=\left(1.\sqrt{x-4}+1.\sqrt{y-3}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-4+y-3\right)=16\) 

\(\Rightarrow C^2\le16\Rightarrow C\le4\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x\ge4;y\ge3\\x+y=15\\\sqrt{x-4}=\sqrt{y-3}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}}\)

Vậy Max C = 4  \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}}\)

Xét : \(C^2=x-4+y-3+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}=8+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\)

Vì \(2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\ge0\) nên \(C^2\ge8\Rightarrow C\ge2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge4;y\ge3\\x+y=15\\\left(x-4\right)\left(y-3\right)=0\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=11\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=12\\y=3\end{cases}}\)

Vậy Min C = \(2\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x;y\right)=\left(4;11\right)\\\left(x;y\right)=\left(12;3\right)\end{cases}}\)

cais này ko tìm gtln đc đâu chỉ tìm đ giá trị của P thui vì x = 2015 y rùi thay vào P sẽ  thấy ngay

\(P=\frac{\sqrt{x}+4\sqrt{y}}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}=2-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\le2\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y\ne0\end{cases}}\)

1. Tìm giá trị lớn nhất : 

Ta có : \(C^2=\left(\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}\right)^2=x-4+y-3+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}=8+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\)

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có \(2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\le x-4+y-3=8\)

\(\Rightarrow C^2\le8+8=16\Rightarrow C\le4\) . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases}x\ge4;y\ge3\\x+y=15\\x-4=y-3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}\)

Vậy C đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi và chỉ khi (x;y) = (8;7)

2. Tìm giá trị nhỏ nhất :

Ta có : \(C^2=8+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\) . Vì \(2\sqrt{\left(x-4\right)\left(y-3\right)}\ge0\) nên \(C^2\ge8\Rightarrow C\ge2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases}x\ge4;y\ge3\\x+y=15\\\left(x-4\right)\left(y-3\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\y=11\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=12\\y=3\end{cases}\)

Vậy C đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\sqrt{2}\) khi và chỉ khi (x;y) = (4;11) hoặc (x;y) = (12;3)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{x}{\sqrt{x+3}}}.\sqrt{\sqrt{x+3}}+\sqrt{\frac{y}{\sqrt{y+3}}}.\sqrt{\sqrt{y+3}}\right)^2}\)

\(\le\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt{x+3}}+\frac{y}{\sqrt{y+3}}\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}\right)}\)

\(=\sqrt{4\left[\frac{x+3}{\sqrt{x+3}}+\frac{y+3}{\sqrt{y+3}}-3\left(\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{y+3}}\right)\right]}\)

\(\le2\sqrt{4-\frac{12}{\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}}}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = y = 1

Max A = 2.

thanks

\(P=\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+2\sqrt{z}\right)+3\sqrt{zx}=\left(6-\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}+2\sqrt{z}\right)+3\sqrt{zx}\)

\(P=-x+6\sqrt{x}-2z+12z=-\left(\sqrt{x}-3\right)^2-2\left(\sqrt{z}-3\right)^2+27\le27\)

\(P_{max}=27\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(9;0;9\right)\)

GTLN hay GTNN bạn ơi ;(

GTNN bạn