Quy tắc \(a^b.a^c=a^{b+c}\)

\(2^{k+1}=2^k.2^1=2^k.2\)

Bài 2:

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;-1\right\}\)

\(\dfrac{1+x}{x+1}-\dfrac{x-1}{x^2+x}\)

\(=\dfrac{x\left(x+1\right)-x+1}{x\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x-x+1}{x^2+x}=\dfrac{x^2+1}{x^2+x}\)

b: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{-23;1\right\}\)

\(\dfrac{2x}{x+23}\cdot\dfrac{3x}{x-1}+\dfrac{2x}{x+23}\cdot\dfrac{23-2x}{x-1}\)

\(=\dfrac{2x}{x+23}\cdot\left(\dfrac{3x}{x-1}+\dfrac{23-2x}{x-1}\right)\)

\(=\dfrac{2x}{x+23}\cdot\dfrac{3x+23-2x}{x-1}\)

\(=\dfrac{2x}{x+23}\cdot\dfrac{x+23}{x-1}=\dfrac{2x}{x-1}\)

Bài 3:

a: Sửa đề: AMCN

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>BC=AD(1)

Ta có: M là trung điểm của BC

=>\(BM=MC=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Ta có: N là trung điểm của AD

=>\(NA=ND=\dfrac{AD}{2}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra BM=MC=NA=ND

Xét tứ giác AMCN có

MC//AN

MC=AN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b: Xét tứ giác ABMN có

BM//AN

BM=AN

Do đó: ABMN là hình bình hành

Hình bình hành ABMN có \(AB=BM\left(=\dfrac{BC}{2}\right)\)

nên ABMN là hình thoi

c: Ta có: BM//AD

=>\(\widehat{EBM}=\widehat{EAD}\)(hai góc đồng vị)

=>\(\widehat{EBM}=60^0\)

Xét ΔBEM có BE=BM(=BA) và \(\widehat{EBM}=60^0\)

nên ΔBEM đều

=>\(\widehat{BEM}=60^0\)

Xét hình thang ANME có \(\widehat{MEA}=\widehat{EAN}=60^0\)

nên ANME là hình thang cân

=>AM=NE

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\) MN//BC (định lí Ta-lét đảo)

b) Xét \(\Delta AIB\) có MK // BI ( vì MN // BC)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MK}{BI}\) ( hệ quả của định lí Ta-lét)

C/m tương tự, ta có: \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{KN}{IC}\)

Mà \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{KN}{IC}\)

Mà \(BI=IC\Rightarrow MK=KN\)

\(\Rightarrow\) K là trung điểm của MN

\(\)

Kẻ tia Ay sao cho \(\widehat{yAD}=15^0\). Tia Ay cắt DC tại E.

Kẻ \(AF\perp DC\left(F\in DC\right)\)

\(\Delta EAD=\Delta IAB\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=AB\\AE=AI\end{matrix}\right.\) (1)

\(\widehat{EAI}=\widehat{DAB}-\widehat{DAE}-\widehat{IAB}=120^0-15^0-15^0=90^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AF^2}\) (h.t.l. trong \(\Delta AEK\) vuông tại A) (2)

\(\widehat{DAC}+\widehat{DAB}=180^0\) (trong cùng phía, AB // CD)

\(\Rightarrow\widehat{DAC}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta ADC\) đều (AD = DC) có AF là đ.c.

\(\Rightarrow AF=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{4}{3AD^2}\) (3)

(1), (2) và (3) \(\Rightarrow\dfrac{4}{3AB^2}=\dfrac{1}{AI^2}+\dfrac{1}{AK^2}\left(\text{đ}pcm\right)\)

Hình tự vẽ >o<

a) đk: \(a>0;a\ne1\)

b) Xét K = \(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\right)\)

= \(\dfrac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{\sqrt{a}-1+2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}:\dfrac{\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}.\left(\sqrt{a}-1\right)\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}}\)

Xét \(a=3+2\sqrt{2}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)

<=> \(\sqrt{a}=1+\sqrt{2}\)

<=> K = \(\dfrac{\left(\sqrt{2}+2\right)\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=2\)

c) Đẻ K < 0

<=> \(\dfrac{a-1}{\sqrt{a}}< 0\)

Mà \(\sqrt{a}>0\)

<=> a < 1

<=> 0 < a < 1