\(VT=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\)

\(VP=5-\left(x+1\right)^2\le5\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

ĐKXĐ: \(x\in R\)

\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2\)

=>\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}+x^2+2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}+x^2+2x+1-5=0\)

=>\(\sqrt{3x^2+6x+7}-2+\sqrt{5x^2+10x+14}-3+\left(x+1\right)^2=0\)

=>\(\dfrac{3x^2+6x+7-4}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5x^2+10x+14-9}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)

=>

\(\dfrac{3x^2+6x+3}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5x^2+10x+5}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)

=>\(\dfrac{3\left(x^2+2x+1\right)}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5\left(x^2+2x+1\right)}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x+1\right)^2}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5\left(x+1\right)^2}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+\left(x+1\right)^2=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2\left(\dfrac{3}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}+1\right)=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2=0\)

=>x+1=0

=>x=-1(nhận)

Ta có : \(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=-x^2-2x+4\)

Xét \(x_1< x_2< -1\), khi đó : \(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-x_1^2-2x_1+4+x_2^2+2x_2-4=\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1+2\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\). Vậy f(x) đồng biến với mọi \(x< -1\) 

Tương tự ta chứng minh được :

+ Với x = -1 thì VT = VP => là nghiệm của pt trên

+ Với x < -1 thì do \(f'\left(x\right)\) nghịch biến nên VT > 5 , \(f\left(x\right)\) đồng biến nên VP < 5 => vô lí

+ Với x > -1 thì do \(f'\left(x\right)\) đồng biến nên VT > 5 , \(f\left(x\right)\)nghịch biến nên VP < 5 => vô lí

Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ta có 

\(\sqrt{3x^2+6x+7}=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}\ge2\)

\(\sqrt{5x^2+10x+14}=\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge3\)

4 - 2x - x² = 5 - (x + 1)² \(\le5\)

Ta có VT \(\ge5\);VP \(\le\)5

Nên dấu bằng xảy ra khi x = - 1

Ta có : √3x2+6x+7+√5x2+10x+14=−x2−2x+4

Xét x1<x2<−1, khi đó : ƒ (x1)−ƒ (x2)=−x12−2x1+4+x22+2x2−4=(x2−x1)(x2+x1+2)<0

⇒ƒ (x1)<ƒ (x2). Vậy f(x) đồng biến với mọi x<−1 

Tương tự ta chứng minh được :

+ Với x = -1 thì VT = VP => là nghiệm của pt trên

+ Với x < -1 thì do ƒ '(x) nghịch biến nên VT > 5 , ƒ (x) đồng biến nên VP < 5 => vô lí

+ Với x > -1 thì do ƒ '(x) đồng biến nên VT > 5 , ƒ (x)nghịch biến nên VP < 5 => vô lí

Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2\)

Ta có: \(VT=\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}\)

                   \(=\sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)+3}+\sqrt{5\left(x^2+2x+1\right)+9}\)

                      \(\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+\sqrt{9}\)

Mặt khác: \(VP=4-2x-x^2=-\left(x^2+2x+1\right)+5=5-\left(x+1\right)^2\le5\)

Hai vế của phương trình bằng 5

<=> x + 1 = 0

<=> x       = -1

Vậy x = - 1 là nghiệm của phương trình

P/s: Đây là cách giải của mình, mong các bạn góp ý. Cảm ơn

tại sao VT \(\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}\)???????

Ta có \(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=\sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)+4}+\sqrt{5\left(x^2+2x+1\right)+9}=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5\left(1\right)\)\(4-2x-x^2=-\left(x^2+2x-4\right)=-\left(x^2+2x+1-5\right)=-\left(x+1\right)^2+5\le5\left(2\right)\)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow5\le-\left(x-1\right)^2+5\le5\Rightarrow-\left(x-1\right)^2+5=5\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\left(tm\right)\)

Ta có: \(VT=\sqrt{3x^2+6x+3+4}+\sqrt{5x^2+10x+5+9}\)

\(=\sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)+4}+\sqrt{5\left(x^2+2x+1\right)+9}\)

\(=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\)

\(\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5\left(1\right)\)

Lại có \(VP=4-2x-x^2=5-\left(x^2+2x+1\right)=5-\left(x+1\right)^2\le5\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(VT\ge5\ge VP\) xảy ra khi \(VT=VP=5\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=5\\4-2x-x^2=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=-1\)

\( VT = \sqrt {3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {5{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \\ \Rightarrow VP \ge 2 + 3 = 5\forall x \ge - 1\left( 1 \right)\\ VP = 5 - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 5\forall x \ge - 1\left( 2 \right) \)

Từ $(1)$ và $(2)$ để \(VP=VT=5 \Leftrightarrow x =-1\)

ta có

zế trái :\(\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\)

zế phải : \(4-2x-x^2=5-\left(x+1\right)^2\le5\)

zậy 2 zế đều = 5 , khi đó x=-1 . Zới giá trị này cả 2 bất đẳng thức này đều trở thành đẳng thức

KL ::