1.

Đặt \(x^2-2x+m=t\), phương trình trở thành \(t^2-2t+m=x\)

Ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x+m=t\\t^2-2t+m=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-t\right)\left(x+t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=t\\x=1-t\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=x^2-2x+m\\x=1-x^2+2x-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-x^2+3x\\m=-x^2+x+1\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y=-x^2+x+1\) và \(y=-x^2+3x\):

\(-x^2+x+1=-x^2+3x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{5}{4}\)

Đồ thị hàm số \(y=-x^2+3x\) và \(y=-x^2+x+1\): 

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m< \dfrac{5}{4}\)

Mà \(m\in\left[-10;10\right]\Rightarrow m\in[-10;\dfrac{5}{4})\)

(x1-1)(x2^2-5x2+m-4)=0

=>x1=1 và x2^2-x2(x1+x2-1)+x1x2+1=0

=>x1=1 và x2^2-x2x1-x2^2+x2+x1x2+1=0

=>x1=1 và x2=-1

x1*x2=m-3

=>m-3=-1

=>m=2

Đặt \(x^2=a\left(a\ge0\right)\)

Phương trình trở thành \(a^2-5a+m=0\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot m=-4m+25\)

Để phương trình \(x^4-5x^2+m=0\) có đúng 2 nghiệm phân biệt thì phương trình \(a^2-5a+m=0\)(\(a=x^2\)) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta=0\)

\(\Leftrightarrow-4m+25=0\)

\(\Leftrightarrow-4m=-25\)

hay \(m=\dfrac{25}{4}\)

Vậy: \(m=\dfrac{25}{4}\)

Đặt \(t=x^2\ge0\Rightarrow t^2-5t+m=0\) (1)

Ứng với mỗi giá trị \(t>0\) luôn cho 2 giá trị x phân biệt tương ứng nên pt đã cho có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có đúng 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm

\(\Leftrightarrow\) (1) có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow ac=m< 0\)

Vậy \(m< 0\)

a.

⇔ \(5x^2-3x+\left(-7\right)-1=0\)

⇔ \(5x^2-3x-8=0\)

Δ=\(b^2-4ac\) \(=\left(-3\right)^2-4.5.\left(-8\right)=169\)>0

Vì Δ>0 nên pt có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+\sqrt{169}}{2.5}=\dfrac{8}{5}\)

\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-\sqrt{169}}{2.5}=-1\)

1.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=25-12m>0\\x_1^2+x_2^2< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\\left(2m-3\right)^2-2\left(m^2-4\right)< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\2m^2-12m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0< m< \dfrac{25}{12}\)

3.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=11-m>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 11\\6>0\\m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2< m< 11\)

Δ=(-5)^2-4(m+1)=25-4m-4=-4m+21

Để PT có 2 nghiệm pb thì -4m+21>0

=>m<21/4

x1+x2=5

=>x2=5-x1

2x1=căn x2

=>4x1^2=x2

=>4x1^2=5-x1

=>4x1^2+x1-5=0

=>x1=1(nhận) hoặc x1=-5/4(loại)

=>x2=4

x1x2=m+1

=>m+1=4

=>m=3

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm thì: $\Delta=25-4(m-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow m\leq \frac{33}{4}$

Áp dụng hệ thức Viet, với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt thì:

$x_1+x_2=-5$

$x_1x_2=m-2$

Khi đó:

$\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=2$

$\Leftrightarrow \frac{x_1+x_2-2}{(x_1-1)(x_2-1)}=2$

$\Leftrightarrow \frac{-5-2}{(x_1-1)(x_2-1)}=2$

$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow m-2+5+1=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow m=\frac{-15}{2}$ (tm)

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm thì: $\Delta=25-4(m-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow m\leq \frac{33}{4}$

Áp dụng hệ thức Viet, với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt thì:

$x_1+x_2=-5$

$x_1x_2=m-2$

Khi đó:

$\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=2$

$\Leftrightarrow \frac{x_1+x_2-2}{(x_1-1)(x_2-1)}=2$

$\Leftrightarrow \frac{-5-2}{(x_1-1)(x_2-1)}=2$

$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow m-2+5+1=\frac{-7}{2}$

$\Leftrightarrow m=\frac{-15}{2}$ (tm)