Lời giải:

Biến đổi tương đương:

\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}-\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{4}\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

\(\Leftrightarrow a+2\sqrt{ab}+b\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\) (Luôn đúng vì a ≥0; b≥0)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=0

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)(luôn đúng)

theo BĐT cô - si ta có :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) \(\left(a\ge0,b\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\)\(a+b+a+b\ge2\sqrt{ab}+a+b\)

\(\Leftrightarrow\)\(2a+2b\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{4}\cdot2\cdot\left(a+b\right)\ge\frac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) \(\left(đpcm\right)\)

Biến đổi tương đương đi

BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\Leftrightarrow\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{4}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b

P/s: em ko chắc..

\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}}\)

Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{m+n}\)được \(\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

CM: \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Áp dụng bđt Côsi:

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)

Tương tự \(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{b}\)

Cộng theo vế và thu gọn, ta được đpcm.

kết quả sẽ lafb/3

tìm trc khi hỏi Câu hỏi của Hoàng Thiên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

bạn ầy làm đúng rồi

k tui nha

thank

bạn áp dụng Bunhiacopxki là ra mà : VT^2 <= ( c +b -c ). ( a - c + c ) = ab

áp dụng cô si ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{matrix}\right.\)

cộng quế theo quế ta có : \(2a+2b+2c\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Cách khác :3

\(a+b+c\text{≥}\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)

⇔ \(2\left(a+b+c\right)\text{≥}2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)

⇔ \(a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ac}+a\text{ ≥}0\)

⇔\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2\text{≥}0\left(luôn-đg\right)\)

\("="\text{⇔}a=b=c\)

Chứng minh bằng biến đổi tương đương :

\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) . Vì hai vế không âm nên bình phương cả hai vế : 

\(\frac{a+b}{2}\ge\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\) \(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu dc chứng minh. 

Dấu "=" xảy ra khi a = b (a,b không âm)