Bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\end{matrix}\right.\)
với a;b luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ta luôn có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge\left(\sqrt{a+b}\right)^2\\ \Leftrightarrow a+2\sqrt{ab}+b\ge a+b\)
vì a;b luôn\(\ge\)0 nên \(2\sqrt{ab}\) luôn\(\ge\) 0 nên:
\(a+2\sqrt{ab}+b\) luôn lớn hơn hoặc bằng a+b
=>\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)(ĐPCM)
