Question

cho a,b là các số thực không âm,

chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

Answer 1

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

Do 2 vế không âm nên ta bình phương

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge\left(\sqrt{a+b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+2\sqrt{ab}+b\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\) ( luôn đúng )

Xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab\ge0\\\left|a\right|\ge\left|b\right|\end{matrix}\right.\)

Answer 2

đặt A=\(\sqrt{a+b}\) \(\Rightarrow\) A^2=a+b

B=\(\sqrt{a}\) +\(\sqrt{b}\) \(\Rightarrow\) B^2=a+b<a+b+2\(\sqrt{ab}\)

vì a>0,b>0 =>2\(\sqrt{ab}\) >0

do vậy a+b <a+b+2\(\sqrt{ab}\)

=>A^2<B^2 =>A<B